江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期一调考试数学（理）试卷 13页

江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期 一调考试数学(理)试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．已知全集，集合，集合，则阴影部分所示集合为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎2. 复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若，，，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎4．函数图象的大致形状是 A． B．C． D．‎ ‎5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3，AC=5，则的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎7．给出下列五个命题：‎ ‎①若为真命题，则为真命题；‎ ‎②命题“，有”的否定为“，有”；‎ ‎③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；‎ ‎④在锐角三角形中，必有；‎ ‎⑤为等差数列，若，则 其中正确命题的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．已知定义在上的函数，恒为正数的符合，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C．() D．‎ ‎9．已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.定义为个正数、、…、的“均倒数”，若已知正整数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，在正方体中，平面，垂足为H，给出下面结论：‎ ‎①直线与该正方体各棱所成角相等；‎ ‎②直线与该正方体各面所成角相等；‎ ‎③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形；‎ ‎④垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，‎ 其中正确结论的序号为（　　）‎ A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点的距离都大于1的概率为___．‎ ‎14．在数列{an}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且an＝（an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，则an＝_____．‎ ‎15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边。若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为____‎ ‎16.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线 的离心率为　 　．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．‎ ‎19．如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.‎ ‎（1）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；‎ ‎（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.‎ ‎20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：‎ 组别 年龄 A组统计结果 B组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 ‎[15，25）‎ ‎27人 ‎13人 ‎40人 ‎20人 ‎[25，35）‎ ‎23人 ‎17人 ‎35人 ‎25人 ‎[35，45）‎ ‎20人 ‎20人 ‎35人 ‎25人 ‎（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．‎ ‎①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；‎ ‎②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；‎ ‎（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．‎ ‎21．．已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围 ‎（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求 AOB面积的最大值.‎ ‎23选修4--5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．‎ 高三下一调数学参考答案 一、 选择题 BABBD CBDCA BD 二、 填空题 ‎13、 14、an＝2n2+n 15. 16：‎ ‎17．（1）因为，，所以．‎ 由余弦定理得，‎ 所以，即，‎ 在中，，，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）因为是的平分线，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以，，‎ 又因为，所以，‎ 所以．‎ ‎18．（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．‎ 理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，‎ 且，故且.所以，四边形为平行四边形.‎ 所以，，又平面，平面，所以，平面.‎ ‎（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，‎ 又，所以，且平面平面，平面平面，‎ 所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，‎ 设，则由题意知，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，令，则，，‎ 所以取，显然可取平面的法向量，‎ 由题意：，所以.‎ 由于平面，所以在平面内的射影为，‎ 所以为直线与平面所成的角，‎ 易知在中，，从而，‎ 所以直线与平面所成的角为.‎ ‎19．‎ ‎20．【解答】解：（1）①由分层抽样性质得：‎ 从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁“的人数为：100×＝20人，‎ ‎”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为：＝9人．‎ ‎②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，‎ P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（X）＝＝．‎ ‎（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 ‎ 未达到35岁 ‎ 125‎ ‎ 75‎ ‎ 200‎ ‎ 达到35岁 ‎ 55‎ ‎ 45‎ ‎ 100‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ m＝35时，K2的观测值：‎ k1＝＝＝．‎ m＝25时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 ‎ 未达到25岁 ‎ 67‎ ‎ 33‎ ‎ 100‎ ‎ 达到25岁 ‎ 113‎ ‎ 87‎ ‎ 200‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ m＝25时，K2的观测值：‎ k2＝＝，‎ k2＞k1，‎ 欲使犯错误的概率尽量小，需取m＝25．‎ ‎21试题解答：（Ⅰ）‎ ‎①当时，，所以.‎ ‎②当时，由得.‎ 若，则；若，则.‎ 所以当时，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，所以.‎ ‎（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，‎ 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正，也不可能恒为负.‎ 故在区间内存在零点.‎ 同理在区间内存在零点.‎ 所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.‎ 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.‎ 所以.‎ 此时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此，必有 ‎.‎ 由得：，有 ‎.‎ 解得.‎ 当时，在区间内有最小值.‎ 若，则，‎ 从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.‎ 又，‎ 故此时在和内各只有一个零点和.‎ 由此可知在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，，‎ 故在 内有零点.‎ 综上可知，的取值范围是.‎ ‎22.(Ⅰ)法一：由题可知，的直角坐标方程为：，‎ 设曲线上任意一点关于直线对称点为，‎ 所以 又因为，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为：‎ 法二：由题可知，的极坐标方程为： ，‎ 设曲线上一点关于 的对称点为，‎ 所以 又因为，即，‎ 所以曲线的极坐标方程为：‎ ‎(Ⅱ)直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：‎ 设，‎ 所以解得，解得 因为：，所以 当即时，，取得最大值为：‎ ‎23.解法：原不等式等价于 或 或， ‎ 解得：或无解或， 所以，的解集为．‎ ‎（2）．‎ 则 ‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值，． ‎ 因为对，恒成立，‎ 所以．‎ 又因为，所以，‎ 解得 （不合题意）．‎ 所以的最小值为1‎