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- 2021-05-10 发布
文数试题
（考试时间：120分钟 分值：150分 ）
一、 本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B. C. D．2
2.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则的虚部为( )
A．0 B．－1 C．1 D．－2
3.命题p：，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )
5.已知命题若p为假命题，则a的取值范围为（ ）
A. (－∞,1) B. (－∞,1] C. (1,+∞) D. [1,+∞)
6．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )
A．H0：男性喜欢参加体育活动
B．H0：女性不喜欢参加体育活动
C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
7.将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（ ）
A．y=x﹣2 B．y=x﹣2（0≤y≤1）
C．y=x+2（﹣2≤x≤﹣1） D．y=x+2
8.已知命题p：不等式的解集为，命题q：是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A-BCD的内切球体积为，外接球体积为，则( )
A. B. C. D.
10．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为( )
A．1 B. C. D.
11.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A B．(，＋∞) C. D.∪(，＋∞)
12.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每空5分，共20分）。
13.在极坐标系中，O是极点，设点，，则△OAB的面积是 ．
14.函数的图象在点处的切线方程是，则
．
15.观察下列各式：，...，则 ．
16.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10分）已知p:关于x的方程有两个不等的负根；q:关于x的方程无实根。若为真，为假，求m的取值范围
18.(本题满分12分）设函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若对于任意,不等式恒成立,求实数t的取值范围.
19.(本题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
a
b＝5
女生
c＝10
d
总计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．
参考数据：
（参考公式：，其中）
20.(本题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求的值.
21.(本题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交C于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.
22.(本题满分12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求实数m的取值范围.
文数答案
一、 CDCDD DCADB DD
二、 13. 5 14. 3 15. 123 16.
17.解：若方程有两个不等的负根，则，解得，即………………………3分
若方程无实根，则，解得，即q：……………………6分
因为真，为假，所以p、q两命题中应一真一假，即p为真，q为假或q为真，p为假
或，………………………9分
解得或
所以的取值范围是或………………………10分
18.解：（1）由题意,…………………3分
当时,,解得,∴;
当时,,解得,∴;
当时, ,解得,∴;
综上,不等式的解集为.…………………6分
（2）当时,, ;
当时,;
当时, .
所以.…………………9分
不等式恒成立等价于,即,…………………11分
解得.…………………12分
19.解：(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
…………………6分
(2)∵≈8.333＞7.879，…………………10分
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．…………………12分
20.解：（1）…………………3分
…………………5分
圆 …………………6分
（2） 将 代入
∴…………………9分
设点所对应的参数为则 …………………11分
∴ …………………12分
21. 解：（1）由已知可得，且，
解得，，…………………3分
∴椭圆的方程为.…………………4分
（2）设，，将代入方程整理得
，…………………5分
，∴，
∴，，，…………………6分
，…………………8分，…………………9分
，当且仅当时取等号，…………………11分
∴面积的最大值为.…………………12分
22.解：（1）函数的定义域为，
，…………………2分
当x变化时，，变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
+
0
-
0
+
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
综上所述：在(0,1)和(2,+∞)上是增函数，在(1,2)上是减函数.………………5分
（2）∵函数在上恒成立，
∴.…………………6分
由（1）知在和上是增函数，在(1,2)上是减函数，
∴函数在或处取得最大值，…………………8分
，，
∵，…………………10分
∴，…………………11分
∴.…………………12分