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- 2021-05-10 发布
蚌埠市2020届高三年级第一次教学质量检查考试
数学（理工类）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. 1 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
令，得出,再计算，即可求出答案．
【详解】解：令，则，
∴解得 ，∴ ，故选B.
【点睛】本题考查复数模的运算，属于基础题．
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别化简集合A和B,再求交集即可．
【详解】解：，,
∴,
故选C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．
3.已知，则在，，，中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
用做商法，两两比较大小，最后得出最大值．
【详解】解：∵，
∴，即，同理可得，，
又∵
∴，即最大．
故选C．
【点睛】考查了有理数大小比较，在比较较为复杂的式子时，对于选择题最好的方法是举出具体的数值，利用特殊值进行比较即准确又快捷．
4.用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对数函数的运算性质，求得，即可得出答案．
【详解】解：，
∴ 即
故选A.
【点睛】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题．
5.已知，则“”是“”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题只需解出条件和结论对应的的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案．
【详解】解：前者：或，
后者：；
所以“”是“”既不充分也不必要条件
【点睛】本题结合解不等式，考查充分必要条件，属于基础题．
6.执行如程序框图所示的程序，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果．
【详解】解：执行程序框图，输入x，
当i=1时，得到2x-1；
当i=2时，得到2（2x-1）-1=4x-3，
当i=3时，得到4（2x-1）-3=8x-7，
当i=4时，退出循环，输出8x-7=，
故选D．
【点睛】本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，着重考查推理与运算能力，属于基础题．
7.若直线将不等式组表示平面区域的面积分为1：2两部分，则实数k的值为（ ）
A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，根据直线l过定点，通过数形结合，即可求解．
【详解】如图所示，
∵直线l恒过点，故当直线l过AB的三等分点时,此时可行域的面积被分为的两部分，此时或.
故选A.
【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题．
8.定积分的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定积分的性质，将定积分可以展开为：，利用定积分的运算，分别求出定积分值．
【详解】解：利用定积分的运算法则，将定积分展开为：，
∴表示以为圆心，2为半径圆的面积，
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查定积分的性质，学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义，属于中档题．
9.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径，最后即可求出外接球半径（其中为三棱柱垂直底面的棱长），再结合球的表面积公式,即可求解．
【详解】解：如图所示，
三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，
∵三棱锥的体积为，
∴
由正弦定理得：外接圆的直径
∴三棱锥的外接球的半径
∴球O的表面积为，故选B.
【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，确定三棱锥的外接球的半径是关键．
10.已知椭圆的焦距为，椭圆C与圆交于M，N两点，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先画出草图，通过计算，便可得到MN的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出．
【详解】解：如图所示：
∵,∴,∴点就是椭圆的另一个焦点，
∴,即,
又∵，∴，
∴椭圆的标准方程为： ，故选D．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程和作图能力，充分利用题目所给条件，挖掘基本量的关系，即可求解．
11.已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可转化为函数在不单调，即对称轴要落在上，即可求解．
【详解】解：依题意得在
上不单调，即 化简得：，
∴，即，解得，故选D.
【点睛】本题考查辅助角公式和正弦函数的基本性质，属于中档题．
12.已知棱长为1的正方体，点是四边形内（含边界）任意一点， 是中点，有下列四个结论：
①；②当点为中点时，二面角的余弦值；③与所成角的正切值为；④当时，点的轨迹长为.
其中所有正确的结论序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】
①利用线面平行，得到线线平行．②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值．③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解．④证明平面，则即为点的运动路径，通过计算即可求解．
【详解】解：如图所示，
①根据正方体的几何性质，易得平面,又因为平面, 故
，即，故①对．
②当点为中点时，,且,所以二面角的平面角为,连接,又，故所求二面角的余弦值为 .故②错．
③因为,所以与所成角即为与所成角，即为,连接,在等腰三角形中，为底边中点，所以 ，所以与所成角的正切值为.故③对．
④点为 中点，所以，又因为 所以平面, 即点在线段上运动时，，所以点的轨迹长为，故④对．
故选.
【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判定、二面角（范围）以及异面直线的夹角（范围）．属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量与，，且，则实数m的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出向量，再通过向量平行，即可求解．
【详解】解：，又因为，所以，解得．
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，，
①若，则，②若，则．
14.已知定义在R上的奇函数，对任意x都满足，且当，，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意，由可得，结合函数是奇函数可得，即是周期为12的函数，由此即可得答案．
【详解】解：由 可得，又由在R上奇函数，
即，有，则是周期为12的周期函数．．
【点睛】本题考查抽象函数的运用，关键是分析出函数的周期性．
15.蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、淮河闸水利风景区都是4A风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上9个景点中选择6个景点游玩，每个景点用半天（上午、下午各游玩一个景点），且至少选择4个4A风景区，则小明这三天的游玩有________种不同的安排方式（用数字表示）.
【答案】46080
【解析】
【分析】
先选景区，再进行排列，即可得出答案．
【详解】解：分三种情况：①选择4个4A景区，有(种) ，②选择5个4A景区，有(种) ，③选择6个4A景区，有(种)，故共有 (种)．
【点睛】本题考查排列组合，要做到不重复、不遗漏，属于基础题．
16.已知，若方程恰有两个实根，，则的最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出的图像，求出，并表示为的函数即可求解．
【详解】解：的图象如图所示：
设，则， 方程有两个不相等的实根，故，则，
当时，， 单增，当时，， 单减，故，即的最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查函数与方程的零点，导数与函数的最值，考查分析转化能力，考查运算能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）通过 可以求得，进而求得，再将转化成
,即可求出．（2）由（1）求出,再由正弦定理即可求得 ，即可求解.
【详解】解：（1）∵，，所以，
∴，
∴
（2） ∵，，∴，
又∵ ,得到 ,同理可得,
∵，
∴
即的周长为
【点睛】本题考查三角函数和差公式的运用，以及正弦定理的灵活运用求三角形周长，属于中档题．
18.设数列的前n项和，满足，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）知道关于的式子，再构造一个，即可．
（2）利用错位相减法即可求解．
【详解】解：（1）∵，∴，
两式相减得
又且，解得，所以.
∴，
∴
又
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，∴，
则
①
②
①-②得：-=
故
【点睛】本题考查求数列的通项公式，以及求数列的前n项和，属于中档题．
19.如图所示，在四棱锥中，，平面PAB，，E为线段PB的中点
（1）证明：平面PDC；
（2）求直线DE与平面PDC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行．
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用法向量求解．
【详解】证明：（1）如图所示，取PC的中点F，连接DF，EF，因为E为线段PB的中点，
∴，且，
∵，∴
∴四边形EFDA为平行四边形
∴，又平面PDC，平面PDC，
∴平面PDC
（2）（方法一）∵，平面PAB，平面PAB，
由题意知为等边三角形，
以A为坐标原点，如图建系
，，，，，，
，，
设平面PDC的法向量为，则
令，则
设直线DE与平面PDC所成角为，
即直线DE与平面PDC所成角的正弦值为
（方法二）∵为等边三角形，E为线段PB的中点，∴
∵平面PAB，∴，，平面PBC，
∵，平面PBC，
平面PDC，平面平面PBC
过E点作于H，连接DH，则平面PDC，
∴即为直线DE与平面PDC所成角，易得，，
在中，
∴直线DE与平面PDC所成角的正弦值为
【点睛】本题考查线面平行的证明，以及求线面角的正弦值，属于中档题．
20.某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶．超过24小时，按前述标准重新计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：
T（小时）
频数（车次）
600
120
80
100
100
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．
（1）X表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；
（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用少于的车辆数，求的概率.
【答案】(1)见解析； (2)
【解析】
【分析】
（1）根据收费规则，列出停车费所有可能出现的情况，求出对应的概率，即可求出期望．
（2）利用二项分布和排列组合的知识，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，X的可取值为5，8，11，14，15，因此，
，，，，
所以X的分布列为：
X
5
8
11
14
15
（2）依题意得
所以
【点睛】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望，属于中档题．
21.已知点A，B是抛物线上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点.
（1）若是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程；
（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点.
【答案】(1) ；(2) 证明见解析
【解析】
分析】
（1）根据直角三角形的性质，可以得到三点在以焦点为圆心，为半径的圆上，故点，,,再根据三角形面积，即可求出．
（2）设,所在直线方程和抛物线方程，通过韦达定理，得到斜率的表达式，进而得到所在直线的表达式，通过化简整理，即可证明．
【详解】解：（1）由题意，是等腰直角三角形，且
不妨设点A位于第一象限，则直线EA的方程为，
联立方程，，解得
所以点，，
，解得，
故抛物线C的方程为
（2）（方法一）设，，则直线EB的方程为
联立方程，，消去，
得关于的方程
该方程有一个根，两根之积为，
则另一个根为，所以点D的坐标为
直线AD的斜率为
所以AD的方程为
化简得
所以直线AD过定点
（方法二）设，，，直线BE的方程为，
联立方程，，消去x，
得关于x的方程，所以
则
直线AD的方程为
化简得
所以直线AD过定点
【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、证明直线过定点以及学生的计算能力．属于难题．
22.已知函数，且是曲线的切线.
（1）求实数a值以及切点坐标；
（2）求证：.
【答案】(1) ，切点为 (2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，设出切点，可得切线的斜率，由切线方程可得的方程，解方程可得；
（2）先通过对 求导利用函数单调性，得到，再构造函数 ，求导利用函数单调性得到，即可求解．
【详解】解：（1）设切点为，则切线为
即
从而
消去a得：
记
则，显然单调递减且，
所以时，，单增，时，，单减，故当且仅当时取到最大值，而.
所以，切点为
（2）（方法一）记，，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴，∴，即①
，
则
∴时，，单调递减；
时，，单调递增
∴，即，∴即②
由①②得.
（方法二）令，
则
令，易知在上单增，且，
所以当时，，从而；
当时，，从而，
即在单减，在单增，
则的最小值为
所以当时，，即，
，即，
（方法三）记，则调递减
时，，单调递增，
所以，故，等号成立当且仅当
故，等号成立当且仅当.
欲证，只需证明，即
记，则
从而时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，，可得，即
∴.
【点睛】本题重点考查导函数和函数单调性的关系，属于难题．