全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 15页

全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分 160 分 一、（15 分） 1、（5 分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球体， 脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 11 3 1 26.67 10G m kg s ，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下 限是 3kg m 。 2 、（ 5 分 ） 在 国 际 单 位 制 中 ， 库 仑 定 律 写 成 1 2 2 q qF k r ， 式 中 静 电 力 常 量 9 2 28.98 10k N m C ，电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑，距离 r 的单位是米，作用力 F 的 单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 1 2 2 q qF r ，式中距离 r 的单位是米，作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 1 2 2 q qF r ，式中距离 r 的单位是米，作用力 F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时，电 荷新单位 = ；新单位与库仑的关系为 1 新单位 = C。 3、（5 分）电子感应加速器（ betatron）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体 积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同 心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁 场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 0 cos(2 / )B B t T ，其中 T 为磁场变化的周期。 B 0 为大于 0 的常量。当 B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0的 电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图） ，则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速 的时间是从 t= 到 t= 。 二、（21 分） 嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后，进入绕 地 运 行的椭圆轨道， 近地点离地面高 22.05 10nH km ，远地点离地面高 45.0930 10fH km ， 周期约为 16 小时，称为 16 小时轨道（如图中曲线 1 所示） 。随后，为了使卫星离地越来越远， 星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线 2 所示） ，以抬高近地点。后来 又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入 24 小时轨 道、 48 小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线 3 、 4 、 5 所示） 。已知卫星质量 32.350 10m kg ，地球半径 36.378 10R km ，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半 径 31.738 10r km 。 1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度，以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火 时间很短， 可以认为椭圆轨道长轴方向不变。 设推力大小 F=490N ，要把近地点抬高到 600km， 问点火时间应持续多长？ 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度 Hm 约为 200km ，周期 T m=127 分钟，试据此估算 月球质量与地球质量之比值。 三、 （22 分） 足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、 射在横梁上的位置有别， 其落地点也是不同的。 已知球门 的横梁为圆柱形， 设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁 的方向射到横梁上， 球与横梁间的滑动摩擦系数 0.70 ，球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。 试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位 置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向 （垂直于横梁的轴线） 的夹角 （小于 90 ） 来表示。不计空气及重力的影响。 四、 （20 分） 图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图， M 为指针 压力表，以 V M 表示其中可以容纳气体的容积； B 为测温饱，处在待测温度的环境中，以 V B 表示其体积； E 为贮气容器，以 V E 表示其体积； F 为阀门。 M 、E、B 由体积可忽略的毛细血 管连接。在 M 、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 5 0 5.2 10p Pa 的氢气。假设氢的饱 和蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题： 1、关闭阀门 F，使 E 与温度计的其他部分隔断，于是 M 、B 构成一简易的气体温度计，用它 可测量 25K 以上的温度， 这时 B 中的氢气始终处在气态， M 处在室温中。 试导出 B 处的温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T 0 时 B 中氢气的压强 P0外，理论上至少 还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间的关系？ 2、开启阀门 F，使 M 、E、B 连通， 构成一用于测量 20～ 25K 温度区间的低温的蒸气压温度计， 此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系，知 道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一温区 的温度。 在设计温度计时， 要保证当 B 处于温度低于 25VT K 时， B 中一定要有液态氢存在， 而当温度高于 25VT K 时， B 中无液态氢。到达到这一目的， M EV V 与 V B 间应满足怎样的 关系？已知 25VT K 时，液态氢的饱和蒸气压 53.3 10Vp Pa 。 3、已知室温下压强 5 1 1.04 10p Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍，试论证蒸 气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。 五、 （20 分） 一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成，电子在 电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子，每个电子的电荷量为 ( 0)e e ， 质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其前端（即图中的 右端）于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可 以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A 、 B 之间加上了如图所示的周期性变化的电压 ABV （ AB A BV V V ，图中只画出了一个周期的图线） ，电压的最大值和最小值分别为 V 0 和－ V 0， 周期为 T。若以 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔 为 T－ 。已知 的值恰好使在 V AB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的 电子，能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小，电子穿过 电容器所需要的时间可以忽略，且 2 06mv eV ，不计电子之间的相互作用及重力作用。 1、满足题给条件的 和 tb 的 值 分 别 为 = T，tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻， 在 0－2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成 的电流 I，随离开右极板距离 x 的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标的 数字保留到小数点后第二位） 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小 孔所在的位置，横坐标的单位 0eVs m 。（本题按画出的图评分，不须给出计算过程） 六、（22 分） 零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限 制。为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度 T=4.2K ）中处于超导 态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度 T C=7.19K ）中电流的变化。设铅丝粗细均匀，初 始时通有 I=100A 的电流， 电流检测仪器的精度为 1.0I mA，在持续一年的时间内电流检测 仪器没有测量到电流的变化。根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上 限 为 多 大 。 设 铅 中 参 与 导 电 的 电 子 数 密 度 20 38.00 10n m ， 已 知 电 子 质 量 319.11 10m kg ，基本电荷 191.60 10e C 。（采用的估算方法必须利用本题所给出的有 关数据） 七、（20 分） 在地面上方垂直于太阳光的入射方向，放置一半径 R=0.10m 、焦距 f=0.50m 的薄 凸透镜，在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘（圆盘中心与透镜焦点重合） ，于是可以在 黑色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好， 圆盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩 —玻尔兹曼定律：在单位时间 内在其单位表面积上向外辐射的能量为 4W T ，式中 为斯特藩 —玻尔兹曼常量， T 为辐 射体表面的的绝对温度。对太而言，取其温度 35.50 10st C 。大气对太阳能的吸收率为 0.40 。又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收， 同时圆盘也按斯特藩 —玻尔兹曼定律 向外辐射能量。如果不考虑空气的对流，也不考虑杂散光的影响，试问薄圆盘到达稳定状态时 可能达到的最高温度为多少摄氏度？ 八、（20 分）质子数与中子数互换的核互为镜像核， 例如 3 He 是 3 H 的镜像核， 同样 3 H 是 3 He 的镜像核。 已知 3 H 和 3He 原子的质量分别是 3 3.016050Hm u 和 3 3.016029Hem u ，中子和 质子质量分别是 1.008665nm u 和 1.007825pm u ， 2 931.51u MeV c ，式中 c 为光速，静 电力常量 2 1.44k MeV fm e ，式中 e 为电子的电荷量。 3 H 和1、试计算 3 He 的 结 合 能 之 差 为 多 少 MeV 。 2、已知核 子 间 相 互 作用的 “核 力 ”与电荷 几 乎 没 有 关系， 又知 质 子 和 中 子 的 半 径 近似相等， 试 说 明 上 面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN 。 3、实验表明，核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体；核子数 A 较大的原子核可以近似 地被看成是半径为 R 的球体。根据这两点，试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式；利用本 题第 2 问所求得的 rN 的估计值求出此关系式中的系数； 用所求得的关系式计算 208 Pb 核的半径 pbR 。 第 25 届全国中学生物理竞赛复赛理论试题参考解答 一、答案 1. 14103.1 2. 31 12 2kg m s 51. 0 6 1 0(答 51.05 10 也给 ) 3. 3 4 T T 二、 参考解答： 1. 椭圆半长轴 a 等于近地点和远地点之间距离的一半， 亦即近地点与远地点矢径长度 （皆 指卫星到地心的距离） nr 与 fr 的算术平均值，即有 n f n f n f 1 1 1 2 2 2 a r r H R H R H H R (1) 代入数据得 43.1946 10a km (2) 椭圆半短轴 b 等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有 n fb r r (3) 代入数据得 41.942 10 kmb (4) 椭圆的偏心率 a bae 22 (5) 代入数据即得 0.7941e (6) 2. 当卫星在 16 小时轨道上运行时，以 nv 和 fv 分别表示它在近地点和远地点的速度，根 据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有 2 2 n f n f 1 1 2 2 GMm GMmm m r r v v (7) 式中 M 是地球质量， G 是万有引力常量 . 因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的 连线垂直，根据角动量守恒，有 n n f fm r m rv v (8) 注意到 g R GM 2 (9) 由 (7)、(8) 、(9)式可得 f n n f n 2r g R r r rv (10) n n f n f f f n 2r r g R r r r r v v (11) 当卫星沿 16 小时轨道运行时，根据题给的数据有 n nr R H f fr R H 由 (11)式并代入有关数据得 f 1.198v km/s (12) 依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向 相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在 处将是新轨道的远地点 . 所以新轨道远地点高度 4 f f 5.0930 10H H km，但新轨道近地点 高度 2 n 6.00 10H km. 由 (11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为 f 1.230v km/s (13) 卫星动量的增加量等于卫星所受推力 F 的冲量，设发动机点火时间为 t，有 f fm F tv v (14) 由 (12)、(13)、(14)式并代入有关数据得 t= 21.5 10 s (约 2.5 分) (15) 这比运行周期小得多 . 3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以 r 表示它所在处矢径的大小， v 表示其速度的大小， 表 示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小 sin 2L rm mv (16 ) 其中 1 sin 2 r v （17） 是卫星矢径在单位时间内扫过的面积， 即卫星的面积速度 . 由于角动量是守恒的， 故 是恒量 . 利用远地点处的角动量，得 f f 1 2 r v (18) 又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为 πS ab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期 ST (20) 由 (18)、(19)、(20) 式得 f f 2πabT r v (21) 代入有关数据得 45.678 10T s (约 15 小时 46 分) (22) 注： 本小题有多种解法 . 例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期 T 与 T0之比的平方等于 它们的轨道半长轴 a 与 a0 之比的立方，即 2 3 0 0 T a T a 若 0a 是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有 2 02 0 0 2πGMm ma a T 得 2 2 2 0 3 2 0 4π 4πT a GM gR 从而得 2πa aT R g 代入有关数据便可求得 (22)式. 4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有 2m m2 m m 2π( )GM m mr r T (23) 这里 m mr r H 是卫星绕月轨道半径， mM 是月球质量 . 由 (23)式和 (9)式，可得 2 3 m m 2 2 m 4πrM M gR T (24) 代入有关数据得 m 0.0124M M (25) 三、 参考解答： 足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂 直于横梁轴线） . 图中 B表示横梁的横截面， O1为横梁的轴线； 1 1O O 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线； A表示足球， O2 为其球心； O点为足球与横梁的碰撞点， 碰撞点 O的位置由直 线O1OO 2与水平线 1 1O O 的夹角 表示 . 设足球射到横梁上时 球心速度的大小为 v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为 v，方向 用它与水平方向的夹角 表示 如图 . 以碰撞点 O为原点作直角坐标系 Oxy ，y轴与 O2OO1重合 . 以 表示碰前速度的方向与 y轴的夹角， 以 表示碰后速度的方向与 y轴(负方向 )的夹角， 足球被 横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角 的大小 . 以F x表示横梁作用于足球的力在 x方向的分量的大小， Fy表示横梁作用于足球的力在 y方向 的分量的大小， t表示横梁与足球相互作用的时间， m表示足球的质量，有 x 0x xF t m mv v (1) y y 0yF t m mv v (2) 式中 0xv 、 0yv 、 xv 和 yv 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系 Oxy 中的分量的大小 . 根据摩擦定 律有 x yF F ( 3) 由（ 1）、（ 2）、（ 3）式得 0x x y 0y v v v v ( 4) 根据恢复系数的定义有 y 0yev v （5） 因 0x 0 0y tan v v （ 6） x y tan v v （7） 由（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）各式得 ee 11tan1tan 0 （ 8） 由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 90 ( 10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 90 . 由（ 9）式得 tan 90 tan ( 11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故 0 ，有 ee 11tan1 tan 1 ( 12) 这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 所满足的方程 . 解（ 12）式得 2 2 21 11 1 4 tan 2 e e e e e ( 13) 代入有关数据得 tan 1.6 ( 14) 即 58 ( 15) 现要求球落在球门线内，故要求 58 ( 16) 四、 参考解答： 1. 当阀门 F关闭时，设封闭在 M和 B中的氢气的摩尔数为 n1，当 B处的温度为 T 时，压力表显示 的压强为 p，由理想气体状态方程，可知 B和 M 中氢气的摩尔数分别为 RT pVn B B1 (1) 0 M M1 RT pVn (2) 式中 R为普适气体恒量 . 因 1M1B1 nnn (3) 解（ 1）、（ 2）、（ 3）式得 1 M B B 0 1 1n R V T V p V T (4) 或 1 M B B 0 pT n R V p V V T (5) ( 4) 式表明， T 1 与 p 1 成线性关系，式中的系数与仪器结构有关 . 在理论上至少要测得两个已知 温度下的压强，作 T 1 对 p 1 的图线，就可求出系数 . 由于题中己给出室温 T0时的压强 p0，故至少 还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定 T与 p之间的关系式 . 2. 若蒸气压温度计测量上限温度 vT 时有氢气液化，则当 B处的温度 vT T 时， B、M 和 E 中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数 . 由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数 0 B M E 2 0 p V V Vn RT （ 6） 假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则 B中气态氢的摩尔数为 v B 2B v p Vn RT （7） 在（ 7）式中，已忽略了 B中液态氢所占的微小体积 . 由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温 中，其中氢气的摩尔数为 ν M E 2M 2E 0 p V Vn n RT （8） 根据要求有 2B 2M 2E 2n n n n （9） 解（ 6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）各式得 B vv0 v00v EM V Tpp TpTpVV ( 10) 代入有关数据得 M E B18V V V ( 11) 五、 答案与评分标准： 1． 59.022 12 2 (3 分) 2 (2 分) 2．如图 (15 分 . 代表电流的每一线段 3 分，其中线段端点的横坐标占 1 分，线段的长度占 1 分，线段 的纵坐标占 1 分 ) 六、 参考解答： 如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为 R，则在一年时间 t 内电流通过线圈因 发热而损失的能量为 RtIE 2 （1） 以 表示铅的电阻率， S表示铅丝的横截面积， l 表示铅丝的长度，则有 S lR （2） 电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为 v，根据电流的定义有 I S nev （ 3） 所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会 超过电流检测仪器的精度 I，即电流变化的上限为 mA0.1I . 由于导电电子的数密度 n 是不 变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由 v变为 v- v，对应的电流变 化 I neS v （4） 导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能 为 221 1 2 2kE lSn m mv v v lSnmv v （5） 由于 I<