2018届二轮复习简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理（全国通用） 66页

第三节　 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词 【 知识梳理 】 1. 命题 p∧q,p∨q,¬p 的真假判断 p q p∧q p∨q ¬p 真 真 ___ ___ ___ 真 假 ___ ___ ___ 假 真 ___ ___ ___ 假 假 ___ ___ ___ 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 2. 全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ___ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ___ ∀ ∃ 3. 全称命题和特称命题 　　名称 形式　　 全称命题 特称命题 语言 表示 对 M 中任意一个 x, 有 p(x ) 成立 M 中存在元素 x 0 , 使 p(x 0 ) 成立 符号 表示 ____________ _____________ 否定 _______,¬p(x 0 ) _______,¬ p(x ) ∀ x∈M,p(x ) ∃ x 0 ∈M,p(x 0 ) ∃ x 0 ∈M ∀ x∈M 【 特别提醒 】 1.p∨q 一真则真 ,p∧q 全真才真 ;p∧q 一假则假 ,p∨q 全假才假 ;p 与 ¬p 的真假相反 . 2. 有些全称命题常省略全称量词 , 如对顶角相等 . 3. 对含有量词的命题否定时 , 不要忽略量词的改写 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 选修 2-1P18 习题 1.3A 组 T1(3) 改编 ) 已知 p:2 是偶数 ,q:2 是质数 , 则命题 ¬p,¬q,p∨q,p∧q 中真命题的个数为　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. p 和 q 显然都是真命题 , 所以 ¬p,¬q 都是假命题 ,p∨q, p∧q 都是真命题 . 2.( 选修 2-1P27 习题 1.4A 组 T3(2) 改编 ) 命题“所有可以被 5 整除的整数 , 末位数字都是 5” 的否定为 　　　　 . 【 解析 】 全称命题的否定为特称命题 , 其否定为“有些可以被 5 整除的整数 , 末位数字不是 5”. 答案 : “ 有些可以被 5 整除的整数 , 末位数字不是 5” 感悟考题　试一试 3.(2015· 湖北高考 ) 命题“∃ x 0 ∈(0,+∞),lnx 0 =x 0 -1” 的否定是　 ( 　　 ) A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1 B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1 C.∃x 0 ∈(0,+∞),lnx 0 ≠x 0 -1 D.∃x 0 ∉(0,+∞),lnx 0 =x 0 -1 【 解析 】 选 A. 由特称命题的否定为全称命题可知 , 所求命题的否定为∀ x∈(0,+∞),lnx≠x-1. 4.(2014· 湖南高考 ) 设命题 p:∀x∈R,x 2 +1>0, 则 ¬p 为　 ( 　　 ) A.∃x 0 ∈R,x 0 2 +1>0 B.∃x 0 ∈R,x 0 2 +1≤0 C.∃x 0 ∈R,x 0 2 +1<0 D.∀x∈R,x 2 +1≤0 【 解析 】 选 B.¬p:∃x 0 ∈R,x 0 2 +1≤0. 5.(2016· 汾阳模拟 ) 已知命题 p:∀x∈R,x 2 -5x+6>0, 命题 q:∃α,β∈R , 使 sin(α+β)=sinα+sinβ , 则下列命题为真命题的是　 ( 　　 ) A.p∧q B.p∨(¬q ) C.(¬p)∨q D.p∧(¬q ) 【 解析 】 选 C. 当 2≤x≤3 时 ,x 2 -5x+6≤0, 所以命题 p 假 . 当 α=0,β∈R 时 ,sin(α+β)=sinα+sinβ 成立 , 所以命题 q 真 , 即 ¬p 为真 ,¬q 为假 . 考向一 　含有逻辑联结词命题真假的判断 【 典例 1】 (1)(2014· 重庆高考 ) 已知命题 p: 对任意 x∈R , 总有 2 x >0;q:“x>1” 是“ x>2” 的充分不必要条件 , 则下列命题为真命题的是　 ( 　　 ) A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q (2) 若命题“ p∧q ” 为假命题 , 且“ ¬p” 为假命题 , 则　 ( 　　 ) A.“p 或 q” 为假 B.q 假 C.q 真 D.p 假 【 解题导引 】 (1) 先判断命题 p,q 的真假 , 再根据真值表求解 . (2) 根据真值表判断 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 易知命题 p 为真命题 , 因为 x>1 无法推出 x>2 成立 , 所以命题 q 为假命题 , 故 p∧q 为假命题 ,¬p∧¬q 为假命题 ,¬p∧q 为假命题 ,p∧¬q 为真命题 . (2) 选 B. 由“ ¬p” 为假 , 知“ p” 为真 , 又“ p∧q ” 为假命题 , 从而 q 为假命题 . 【 规律方法 】 1. 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 (1) 先判断简单命题 p,q 的真假 . (2) 再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假 . 2. 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q 真⇔ p,q 至少一个真⇔ (¬p)∧(¬q ) 假 . (2)p∨q 假⇔ p,q 均假⇔ (¬p)∧(¬q ) 真 . (3)p∧q 真⇔ p,q 均真⇔ (¬p)∨(¬q ) 假 . (4)p∧q 假⇔ p,q 至少一个假⇔ (¬p)∨(¬q ) 真 . (5)¬p 真⇔ p 假 ;¬p 假⇔ p 真 . 【 变式训练 】 (2016· 太原模拟 ) 设命题 p: 函数 y=sin2x 的最小正周期为 ; 命题 q: 在锐角三角形 ABC 中 ,sinA > cosB , 在命题① ¬p;②p∨q;③¬p∧q;④p∨(¬q ) 中 , 真命 题的个数是　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 C. 因为函数 y=sin2x 的最小正周期为 T= =π, 所以命题 p 假 ; 在锐角三角形 ABC 中 ,A+B> , 即 A> -B>0, 又因为 A< , 由正弦函数 y=sinx 的单调性 知 sinA >sin , 即 sinA>cosB , 所以命题 q 真 , 所以 ¬p 真 ,¬q 假 ,p∨q 真 ,¬p∧q 真 ,p∨(¬q ) 假 . 【 加固训练 】 1. 已知命题 p:∃x 0 ∈R, 使 tanx 0 =1, 命题 q:x 2 -3x+2<0 的解集是 {x|1 , 则 ¬p 为　 ( 　　 ) A.∀n∈N,n 2 >2 n B.∃n 0 ∈N,n 0 2 ≤ C.∀n∈N,n 2 ≤2 n D.∃n 0 ∈N,n 0 2 = ( 本题源自 A 版选修 2-1P27 习题 1.4A 组 T3(3)) (2)(2015· 浙江高考 ) 命题“∀ n∈N * ,f(n)∈N * 且 f(n)≤n ” 的否定形式是　 ( 　　 ) A.∀n∈N * ,f(n)∉N * 且 f(n )>n B.∀n∈N * ,f(n)∉N * 或 f(n )>n C.∃n 0 ∈N * ,f(n 0 )∉N * 且 f(n 0 )>n 0 D.∃n 0 ∈N * ,f(n 0 )∉N * 或 f(n 0 )>n 0 【 解题导引 】 (1) 特称命题的否定是全称命题 ,“>” 的否定是“≤” . (2) 全称命题的否定是特称命题 ,“ 且”的否定是“或” . 【 规范解答 】 (1) 选 C.¬p:∀n∈N,n 2 ≤2 n . (2) 选 D. 根据全称命题的否定是特称命题 , 否定结论 ,“ 且”要换为“或” ,“≤” 换为“ >”, 可知选 D. 【 技法感悟 】 1. 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 2. 全称命题与特称命题的否定 (1) 改写量词 : 确定命题所含量词的类型 , 省去量词的要结合命题的含义加上量词 , 再对量词进行改写 . (2) 否定结论 : 对原命题的结论进行否定 . 【 题组通关 】 1.(2016· 黄山模拟 ) 命题“∀ x∈R,2 x >0” 的否定 是　 ( 　　 ) A.∀x∉R,2 x ≤0 B.∀x∈R,2 x ≤0 C.∃x 0 ∈R, >0 D.∃x 0 ∈R, ≤0 【 解析 】 选 D. 全称命题的否定是特称命题 , 故命题 “∀ x∈R,2 x >0” 的否定是“∃ x 0 ∈R, ≤0”. 2.(2016· 唐山模拟 ) 设 p:“∃x 0 ∈Z,x 0 3 >1”, 则 ¬p 为 ( 　　 ) A.∃x 0 ∈Z,x 0 3 <1 B.∃x 0 ∈Z,x 0 3 ≤1 C.∀x∈Z,x 3 >1 D.∀x∈Z,x 3 ≤1 【 解析 】 选 D. 特称命题的否定是全称命题 , 故 ¬p 为“∀ x∈Z,x 3 ≤1”. 3.(2013· 全国卷 Ⅰ) 已知命题 p:∀x∈R,2 x <3 x ; 命题 q:∃x 0 ∈R,x 0 3 =1-x 0 2 , 则下列命题中为真命题的是 　 ( 　　 ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 【 解析 】 选 B. 对于命题 p: 取 x=-1, 可知为假命题 ,¬p 为真命题 ; 对于命题 q: 令 f(x )=x 3 +x 2 -1, 则 f(0)f(1)<0, 故 f(x ) 有零点 , 即方程 x 3 +x 2 -1=0 有解 , 所以 q:∃x 0 ∈R, x 0 3 =1-x 0 2 为真命题 ,¬q 为假命题 , 从而 ¬p∧q 为真命题 . 4.(2016· 偃师模拟 ) 已知命题 p:∃x 0 ∈R,log 2 ( +1) ≤0, 则　 ( 　　 ) A.p 是假命题 ,¬p:∀x∈R,log 2 (3 x +1)≤0 B.p 是假命题 ,¬p:∀x∈R,log 2 (3 x +1)>0 C.p 是真命题 ,¬p:∀x∈R,log 2 (3 x +1)≤0 D.p 是真命题 ,¬p:∀x∈R,log 2 (3 x +1)>0 【 解析 】 选 B. 因为 3 x +1>1, 所以 log 2 (3 x +1)>0 恒成立 , 则命题 p 是假命题 ; 又 ¬p:∀x∈R,log 2 (3 x +1)>0. 考向三 　根据命题的真假求参数的取值范围 【 典例 4】 (1)(2015· 山东高考 ) 若 “∀ x∈ ,tanx≤m ” 是真命题 , 则实数 m 的最小值为 　　　　　 . (2) 设命题 p:∃x 0 ∈R,x 0 2 -x 0 0, 若 p∨q 为真 ,p∧q 为假 , 则实数 a 的取值范围为 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 转化为求 tanx 的最大值 , 然后求实数 m 的最小值 . (2) 分别求命题 p 和 q 为真时 a 的取值范围 , 再由题意列关于 a 的不等式 ( 组 ) 求解 . 【 规范解答 】 (1) 由 0≤x≤ , 可得 0≤tanx≤1. 由 tanx≤m 恒成立可知 m≥1, 即 m 的最小值是 1. 答案 : 1 (2) 因为 x 2 -x= 所以 (x 2 -x) min = 由题意 , 若 p 为真 , 则 - - , 若 q 为真 , 则 Δ=4a 2 -4<0, 解得 -11(a>0,a≠1) 的解集是 {x|x <0}, 命题 q: 函数 y=lg(ax 2 -x+a) 的定义域为 R, 如果 p∨q 为真命题 ,p∧q 为假命题 , 求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 由关于 x 的不等式 a x >1(a>0,a≠1) 的解集是 {x|x <0}, 知 00 的解集为 R, 则 解得 a> . 因为 p∨q 为真命题 ,p∧q 为假命题 , 所以 p 和 q 一真一假 , 即“ p 假 q 真”或“ p 真 q 假” , 故 解得 a≥1 或 0