2020届二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 17页

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 1．已知圆 O 的方程为 2 2 1x y  ，直线 l 恒过点（1， 3 ），则“直线的斜率为 3 3 ” 是“l 与圆 O 相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 圆O 的方程为 2 2 1x y  ，表示以 (0 0)， 为圆心、半径 1r  的圆．当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 1x  ， 1x  与圆O ： 2 2 1x y  相切，当l 的斜率存在时，设 l 的方程为 3 ( 1)y k x   ，即 3 0kx y k    ，圆心O 到直线l 的距离 2 | 3 | 1 1 kd k    ，得 3 3k  ，则“直线 l 的斜率为 3 3 ”是“l 与圆 O 相切”的充分不要条件， 故选 A． 2．命题“ 3, 3 0x R x x    ”的否定为( ) A． 3 3 0x R x x   ， B． 3 3 0x R x x   ， C． 3 0 0 03 0x R x x   ， D． 3 0 0 03 0x R x x   ， 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用全称命题的否定解答. 【详解】 因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“ 3, 3 0x R x x    ”的否定为 3 0 0 03 0x R x x   ， . 故答案为 C 【点睛】 (1)本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能 力.(2) 全称命题 p ：  ,x M p x  ，全称命题 p 的否定（ p ）：  ,x M p x   .特 称命题 :p  ,x M p x  ,特称命题的否定 :p  ,x M p x   ,所以全称命题的否 定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 3．已知函数   1ln1 xf x x   ，若 ,x y 满足   1( ) 02f x f y   ，则 3 y x  的取值范围 是（ ） A． 1[ 1, ]2  B． 1( 1, )2  C． ( 1,1) D． 1,1 【答案】C 【解析】 分析：由已知条件可得，函数 ( )f x 是定义在 ( 1,1) 上的奇函数，从而将题中的条件转 化为关于 ,x y 的二元一次不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义， 确定最优解的位置，从而求得范围. 详解：根据题中所给的函数解析式，可知函数 ( )f x 是定义在 ( 1,1) 上的奇函数，从而   1 02f x f y      可以转化为 1( ) ( )2f x f y ，并且 2( ) ln( 1)1f x x   ，可以判 断出函数 ( )f x 在定义域上是减函数，从而有 1 1 11 12 1 2 x y x y           ，根据约束条件，画出对应 的可行域，根据目标函数的几何意义，可知在点 ( 1, 2)  处取得最小值，在点 ( 1,2) 处 取得最大值，而边界值取不到，故答案是 ( 1,1) ，故选 C. 点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式 的，属于斜率型的，结合图形，求得结果. 4．已知集合 A={x|1＜x≤4}，B={1，2，3，4，5}，则 A∩B=（ ） A．{1, 2，3， 4} B．{1, 2，3} C． 2,3 D．{2, 3， 4} 【答案】D 【解析】 【分析】 根据交集的定义写出结果． 【详解】 集合 A＝{x|1＜x≤4}，B＝{1，2，3，4，5}， 则 A∩B＝{2，3，4}． 故选：D． 【点睛】 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题． 5．若不等式  2 2 1 0a a x x    对一切  0,2x 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) A． 1 3, 2     B． 1 3 ,2      C． 1 3 1 3, ,2 2              D． 1 3 1 3,2 2        【答案】C 【解析】 【分析】 本题是通过 x 的取值范围推导出 a 的取值范围，可先将 a 与 x 分别放于等式的两边，在 通过 x 的取值范围的出 a 的取值范围。 【详解】   2 2 1 0a a x x    2 2 1 xa a x    2 2 1 xa a x     ， 2 1 1x a a x ，    因为  0,2x 所以 1 1 1x 2 1 2xx x     ， 所以 2 1 2a a   ，解得 1 3 1 3, ,2 2x               【点睛】 本题主要考察未知字母的转化，可以先将需要求解的未知数和题目已给出未 知数区分开来，再进行求解。 6．已知变量 x,y 满足约束条件 x + y ≤ 1 x + 1 ≥ 0 x − y ≤ 1 ，则 z = x + 2y 的最小值为 ( ) A．3 B．1 C．− 6 D．− 5 【答案】C 【解析】 解：因为变量 x,y 满足约束条件 x + y ≤ 1 x + 1 ≥ 0 x − y ≤ 1 ，，那么作图可知，目标函数过点（-1，-2）时， 可知最小且为-5. 7．设集合 A = {x ∈ N| 1 4 ≤ 2x ≤ 16}，B = {x|y = ln(x2 − 3x)}，则 A ∩ B 中元素的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 试题分析：由 A = {x ∈ N| 1 4 ≤ 2x ≤ 16} = {0,1,2,3,4}，B = {x|y = ln(x2 − 3x)} = {x|x > 3 或 x < 0}，所以 A ∩ B = {4}，故选 A． 考点：集合的运算． 8．设全集 {1,2,3,4,5}U  ，  ( ) 1UC A B  ，  ( ) 3UA C B  ，则集合 B （ ） A． 1,2,4,5 B．{2,4,5} C．{2,3,4} D．{3,4,5} 【答案】B 【解析】 分析: 根据题意和集合的基本运算可知 1B，3∈A，3B，从而得解. 详解: 因为全集 U={1，2，3，4，5}，    1UC A B  ，    3UA C B  ， 则 1B，3∈A，3B，则 B={2，4，5}. 故答案为：B 点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能 力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图 分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图 分析比较好. 9．若 2 4 1x y  ，则 2x y 的取值范围为（ ） A． 0 2， B． 0 2， C． 2 ， D． 2 ， 【答案】D 【解析】 【分析】 已知 2 4 1x y  ,利用基本不等式求解，等号成立的条件是 x=2y=-1． 【详解】 由均值不等式，得 2 2 22 4 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x y      （当且仅当 x=2y=-1 时等 号成立） 所以 2 2x y   . 故选 D. 【点睛】 此题考查了由条件等式求取值范围问题，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等， 体现了消元的数学思想方法．是中档题． 10． 定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有    2 1 2 1 0f x f x x x   ，且 函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，若 s，t 满足不等式 f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则 当 1≤s≤4 时， 的取值范围是( ) A．[－3，－ ) B．[－3，－ ] C．[－5，－ ) D．[－5，－ ] 【答案】D 【解析】 【分析】 根据    2 1 2 1 0f x f x x x   可知函数在 R 上是单调递减函数.根据函数  1f x  关于  1,0 对称可知函数  f x 关于原点对称.由此得到函数为奇函数，利用函数的奇偶性和 单调性可解出题目所给不等式，由此画出有关 ,t s 的线性规划的可行域，将目标函数转 化为斜率型的目标函数，由此求得目标函数的取值范围. 【详解】 .∵函数 f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(x) 为奇函数，f(x)＝－f(－x)，∴f(s2－2s)≤－f(2t－t2)⇒f(s2－2s)≤f(t2－2t)，又由题意知 f(x) 为 R 上的减函数，∴s2－2s≥t2－2t，∴(s－t)(s＋t－2)≥0，∴s≥t 且 s＋t≥2，或 s≤t 且 s＋ t≤2. 不等式组 的解只有 此时 ＝－ . ＝ ＝1－ ，不等式组 表示的可行域如图中阴影部分所 示，由图可知 ∈[－ ，1]，从而 ＝1－ ∈[－5，－ ]，∴ ∈[－5， － ]．选 D. 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，还考查了化归与转化的数学思想方 法.形如    2 1 2 1 0f x f x x x   的条件，类似于斜率的公式 2 1 2 1 y yk x x   ，当斜率小于零时， 意味着函数是单调递减的.若    2 1 2 1 0f x f x x x   ，即斜率大于零，函数是单调递增的. 这个条件还可以变形为  2 1 2 1x x y y  的形式，表达的意思是一样的. 11．已知条件 043: 2  xxp ，条件 096: 22  mxxq ．若 p 是 q 的充分不必 要条件，则 m 的取值范围是 A． ]1,1[ B． ]4,4[ C． ),4[]4,(   D． ),4[]1,(   【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可得： 41:043: 2  xpxxp ， 令   22 96 mxxxf  则该函数开口向上且对称轴为 3x ， 所以结合图像观察若 p 是 q 的充分不必要条件，则应满足   401  mf 或 4m . 考点：充分必要条件的应用. 12．已知全集 {1,2,3,4,5}U  ，集合 {1,2,3}M  ，集合 {2,3,4}N  ，则集合 ( )UM C N  （ ） A．{1,2,3,5} B．{1,2,3,4} C．{2,3} D．{1} 【答案】A 【解析】 因为已知全集 {1,2,3,4,5}U  ，集合 {1,2,3}M  ，集合 {2,3,4}N  ， 所以  1,5UC N  ，所以  ( ) 1,2,3,5UM C N  ，故选 A。 二、填空题 13．若直线  2 2 0 0, 0ax by a b     经过圆 2 2 2 4 1 0x y x y     的圆心，则 1 1 a b  的最小值为___________． 【答案】 4 【解析】  直线  2 2 0 0, 0ax by a b     经过圆 2 2 2 4 1 0x y x y     的圆心 1,2 ， 所以可得 2 2 2 0a b    ，即 1a b  ，因此  1 1 1 1a ba b a b        2 b a a b       ， 0, 0, 2 2b a b aa b a b a b        ，当且仅当 a b 时等号成立，由此可得 1 1 a b  的 最小值为 2 2 4  ，故答案为 4 . 14．过平面区域 2 0 2 0 2 0 x y y x y           内一点 P 作圆 O：x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A， B，记∠APB=α，当α最小时，此时点 P 坐标为 ． 【答案】 4, 2  【解析】 试题分析：在直角坐标系内平面区域 2 0 2 0 2 0 x y y x y           为如下图所示的三角形 DEC ，由 图可知，当点 P 与平面区域内的点 D 重合时，角 最小，所以角 最小时点 P 的坐标 为 ( 4, 2)  . 考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系. 15．若 ,a b R ，且 4a b  ，则 2a b 的最大值为___________. 【答案】 256 27 【解析】 试题分析：由 4,0,0  baba ，得      04 0 a a ，即 40  a ，令 3222 4)4()( aaaabaaf  ，则 )3 8(338)( 2'  aaaaaf ，则当 )3 8,0(a 时， 0)(' af ，函数 )(af 单调递增，当 )4,3 8(a 时， 0)(' af ，函数 )(af 单调递 减，即当 3 8x 时， 27 256)( max af ；故填 256 27 ． 考点：导数在求函数最值中的应用． 【方法点睛】本题考查消元法、导数在求函数最值中的应用，属于中档题；处理涉及两 个变量的表达式的最值问题时，一般思路是先利用两个变量间的关系进行消元，使问题 转化为关于一个变量的函数的最值问题，再利用基本不等式（配凑定积或定和是关键） 或导数（通法）进行求解. 16． ,x y 设满足约束条 1 0 1 0 3 x y x y y          ，则目标函数 3 1 yz x   的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案. 【详解】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 目标函数 3 1 yz x   的几何意义为区域内的动点 ,x y 到定点  1, 3D   的斜率， 由图象知 AD 的斜率最大， 由 1 0 1 0 x y x y        得  0,1A ， 此时 AD 的斜率 1 3 41 0z   ， 即 z 的最大值为 4． 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函 数化为斜率式即可得到答案. 三、解答题 17．（选修 4-5：不等式选讲） 已知函数   1 2 1f x x a x    . （Ⅰ）当 1 2a  时，若   1 1 ( , 0)f x m nm n    对任意 x R 恒成立，求 m n 的最小 值； （Ⅱ）若   2f x x  的解集包含 1,2 ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 8 3 （Ⅱ） 1a  . 【解析】 试题分析： （Ⅰ）由 1 3( ) 1 2 2f x x x     得 ( )f x 的最小值，从而有 1 1 3 2m n   ，因此有 3 2m n mn  ，再利用基本不等式可得 m n 的不等关系，从而得 m n 的最小值，注 意等号能否取到； （Ⅱ）由于 [ 1,2]x   ，因此不等式 ( ) 2f x x  可化为 1 2 1 2x a x x     ，从 而有 2 1 1 2a x x   ，然后按 2 1x  的正负分类讨论求出 a 的范围，最后求交集即可． 试题解析： （Ⅰ）当 1 2a  时，   1 1 31 2 1 12 2 2f x x x x x         ， ∴  min 3 2f x  ，∴ 1 1 3 2m n   .∴ 3 2 m n mn   ，即 23 3 2 2 2 m nm n mn        ，当且 仅当 m n 时等号成立， ∵ , 0m n  ，解得 8 3m n  ，当且仅当 m n 时等号成立，故 m n 的最小值为 8 3 . （Ⅱ）∵   2f x x  的解集包含 1,2 ，当  1,2x  时，有 1 2 1 2x a x x     ， ∴ 2 1 1 2a x x   对  1,2x  恒成立， 当 11 2x   时，  1 2 1 2a x x   ，∴ 1a  ； 当 1 22 x  时，  2 1 1 2a x x   ，∴ 1a   . 综上： 1a  . 18．已知函数 ( ) | 3| | 1|f x x x    . （Ⅰ）解关于 x 的不等式 ( ) 1f x x ≥ ； （Ⅱ）若函数 ( )f x 的最大值为 M ，设 0, 0a b  ，且 ( 1)( 1)a b M   ，求 a b的 最小值. 【答案】（Ⅰ） ( , 5] [ 1,3]   ；（Ⅱ）最小值为 2 【解析】 【分析】 （1）采用零点分段的方法解不等式； （2）计算出 ( )f x 的最大值，再利用基本不等式求解 a b的最小值. 【详解】 （Ⅰ）由题意 ( 3) (1 ), 3 4, 3 ( ) ( 3) (1 ), 3 1 2 2, 3 1 ( 3) ( 1), 1 4, 1 x x x x f x x x x x x x x x x                                当 3x   时， 4 1x ≥ ，可得 5x   ，即 5x   . 当 3 1x   时， 2 2 1x x ≥ ，可得 1x   ，即 1 1x   . 当 1x  时， 4 1x ≥ ，可得 3x  ，即1 3x  . 综上，不等式 ( ) 1f x x ≥ 的解集为 ( , 5] [ 1,3]   . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 ( )f x 的最大值 4M  ，且 1 4ab a b    ， 即 23 ( ) ( )2 a ba b ab    ≤ ，当且仅当 a b 时“=”成立， 可得 2( 2) 16a b  ≥ ，即 2a b  ，因此 a b的最小值为 2. 【点睛】 （1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时 x 的值， 再逐段分析； （2）注意利用| | | | | |x a x b a b     ，| | | | | |x a x b a b     求解最值. 19． 已知函数 f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且 a≠－2)． (1)若 f(x)能表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)的和，求 g(x)与 h(x)的函数解 析式； (2)命题 p：函数 f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题 q：函数 g(x)是减函数．如 果命题 p，q 有且只有一个是真命题，求 a 的取值范围． 【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋lg|a＋2|；（2） 3( , )2   。 【解析】 【分析】 （1）      f x g x h x＝ ＋ ，利用函数的奇偶性组成方程组即可求得函数的解析式. （2）由  f x 的在   21a  ＋ ，＋ 上位增函数，可得命题 p 为真命题的条件，由  g x 为减函数可得命题 q 为真命题的条件，从而可求命题 ,p q 有且只有一个是真命题，a 的 取值范围. 【详解】 (1)因为      f x g x h x＝ ＋ ，①        g x g x h x h x－ ＝－ ， － ＝ ， 所以      f x g x h x－ ＝－ ＋ ．② 联立①②解得       21 lg 2g x a x h x x a＝ ＋ ， ＝ ＋ ＋ . (2)因为函数    2 1 lg 2f x x a x a＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 在区间   21a  ＋ ，＋ 上是增函数， 所以 2 11 2 aa  ＋ ,且 2 0a ＋ 解得 1a － 或 3 2a － 且 2a   . 又由函数    1g x a x＝ ＋ 是减函数，得 1 0a ＋ ,   1a   且 2a   . 所以命题 p 为真的条件是 1a － 或 3 2a － 且 2a   . 命题 p 为假的条件是 3 12 a  － 且 2a   ； 命题 q为真的条件是 1a   且 2a   ； 命题 q为假的条件是 1a   . 若 p 为真 q为假，则 1a   ； p 为假 q为真 3 12 a  － . 综上：命题 ,p q 有且只有一个是真命题时，实数 a 的取值范围是 3 ,2      . 【点睛】 利用函数的奇偶性建立方程组求函数解析式是求函数解析式基本方法之一，主要考查了 函数奇偶性的应用.利用函数单调性求参数取值范围要注意题设中的对数 lg 2a＋ 中 2 0a ＋ ，以及    1g x a x＝ ＋ 中 1 0a ＋ 这两个条件的限制.根据命题真假得出参数 范围后注意结合题意作分类讨论. 20．把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假． (1)能被 6 整除的数一定是偶数； (2)当 1 2 0a b    时，a＝1，b＝－2； (3)已知 x，y 为正整数，当 y＝x2 时，y＝1，x＝1. 【答案】见解析 【解析】 试题分析：分别确定每个命题的条件和结论然后改写成“若 p ，则 q”的形式，并判断真 假.试题解析：(1)若一个数能被 6 整除，则这个数为偶数．真命题． (2)若 1 2 0a b    ，则 1a＝ 且 2b＝－ 真命题． (3)已知 x ， y 为正整数，若 2y x= ，则 1y＝ 且 1x＝ ，假命题． 21．已知关于 x 的不等式： 2 1 0x mx   ，其中 m 为参数. （1）若该不等式的解集为 R ，求 m 的取值范围； （2）当 0x  时，该不等式恒成立，求 m 的取值范围. 【答案】（1） 2 2m   ；（2） ( ,2) 【解析】 分析：（1）根据一元二次不等式的性质可得 0  ，解不等式即可；（2）利用分离参数 思想得 2 1xm x  ，求出不等式右端最小值即可. 详解：（1）由题意知 0  ，即 2 4 0m   ，∴ 2 2m   （2）当 0x  时， 2 2 11 0 xx mx m x      ∵ 2 1 1 12 2x x xx x x       ∴ m 的取值范围是： ,2 点睛：本题考查一元二次方程与一元二次不等式的关系，考查了“分离参数法”，与基本 不等式的运用解决恒成立的问题，属于基础题． 22．已知：集合 2{ | 3 2 }A x y x x    ，集合 2{ | 2 3 [0 3]}B y y x x x    ， ， ， 求 A B . 【答案】 A B   【解析】 【分析】 根据负数没有平方根求出集合 A 中函数的定义域，可确定集合 A ,根据二次函数的性质， 求出集合 B 中函数的值域，可确定集合 B ,找出 A 与 B 的公共部分，即可确定两集合的 交集. 【详解】 A 是函数 23 2y x x   的定义域 23 2 0x x    解得 3 1x   即  3 1A x x    B 是函数  2 2 3 0,3y x x x，    的值域， 解得 2 6y  ,即  2 6B y y   A B    . 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法、函数的定义域，二次函数的值域以及集合交集的定义， 属于中档题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系 时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 A 且属于集 合 B 的元素的集合.