【数学】甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二下学期第二次学段考试（期末）（理） 13页

甘肃省武威第六中学2019-2020学年 高二下学期第二次学段考试（期末）（理）‎ 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则集合（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）‎ ‎ A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 ‎4．如图所示的是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为，，标准差分别为，，则有（ ）‎ ‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知 的展开式中，含项的系数为70，则实数a的值为（ ）‎ ‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎8．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）‎ ‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 ‎9．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工时间（分钟）‎ ‎26‎ ‎49‎ ‎54‎ ‎ 根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）‎ ‎ A．37.3 B．38 C．39.5 D．39‎ ‎10．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：‎ 及格 不及格 合计 很少使用手机 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 经常使用手机 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 则有（　　）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．‎ A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%‎ 参考公式:，其中 ‎ ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎11．已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13．曲线与直线围成的封闭图形的面积为__________.‎ ‎14．已知是常数，，且，则_____．‎ ‎15．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N（100，100），且的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.‎ 参考数据，若，则，，.‎ ‎16．已知函数，现给出下列结论：‎ ‎①有极小值，但无最小值 ‎②有极大值，但无最大值 ‎③若方程恰有一个实数根，则 ‎④若方程恰有三个不同实数根，则 其中所有正确结论的序号为_________‎ 三、解答题 ‎17．在极坐标系下，已知圆：和直线：.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆上的点到直线的最短距离．‎ ‎18．某校在高二数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若分数段的学生人数为2.‎ ‎（1）求该校成绩在分数段的学生人数；‎ ‎（2）估计90分以上（含90分）的学生成绩的众数、中位数和平均数（结果保留整数）.‎ ‎19．己知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间.‎ ‎20．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为 ‎（1）求该生被录取的概率；‎ ‎（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；‎ ‎（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.‎ 参考答案 ‎1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．D 10．C 11．B 12．B ‎13．－‎ ‎【解析】‎ 做出如图所示：，可知交点为，因此封闭图形面积为：‎ 点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解 ‎14．3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在已知二项式中分别取和，联立即可求得m值．‎ ‎【详解】‎ 在中，‎ 取，得，‎ 取，得，‎ 所以，‎ 所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，对恰当的赋值是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15．40000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件判断，可知，根据条件求得概率，最后再计算样本总量.‎ ‎【详解】‎ 可知 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 又（件）.‎ 故填：40000.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于对称，对称轴两侧的概率均为.‎ ‎16．②④‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；‎ 因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎17．（Ⅰ）:，:；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）圆：，即，‎ 圆的直角坐标方程为：，即；‎ 直线：，则直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）由圆的直角坐标方程为可知圆心坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最短距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．（1）40；（2）众数115、中位数113，平均数113.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得成绩在内的频率，结合分数段的人数即可求得成绩在分数段的学生人数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图中最高矩形，即可得众数；从左至右，将小矩形面积求和，至面积和为0.5时，对应底边的数值即为中位数；将各小矩形面积乘以对应底边的中点值，求和即为平均数的估计值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵分数段的频率为，‎ 又分数段的人数为2， ‎ ‎∴分数段的参赛学生人数为.‎ ‎（2）根据频率分布直方图，最高小矩形底面中点值为115，所以90分以上（含90分）的学生成绩的众数的估计值为115，‎ 从左依次计算各小矩形的面积为，因而中位数的估计值为，‎ 平均数的估计值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的简单应用，由频率分布直方图估计众数、中位数与平均数，属于基础题.‎ ‎19．（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；‎ ‎（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，‎ ‎，又，‎ 在处的切线方程为，即.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当时，；当时，；‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、利用导数求解函数的单调区间的问题，属于导数部分知识的基础应用.‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格 记A={前四项均合格}，B={前四项中仅有一项不合格}‎ 则 又A、B互斥，故所求概率为 ‎，‎ 所以该生被录取的概率是；‎ ‎（2）该生参加考试的项数可以是2，3，4，5.‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ 考点：本题考查了随机变量的概率与期望 点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键 ‎21．（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数的值；‎ ‎（2）由已知整理可得，对任意的恒成立，结合，，可知，故只需对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值的取值范围，由此可求得满足条件的实数的最小整数值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数的定义域为，，‎ 当时，，函数在区间上单调递增，‎ 此时，函数在定义域上无最大值；‎ 当时，令，得，‎ 由，得，由，得，‎ 此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．‎ 所以函数，‎ 即为所求；‎ ‎（2）由，因为对任意的恒成立，‎ 即，当时，对任意的恒成立，‎ ‎，，，‎ 只需对任意的恒成立即可．‎ 构造函数，，‎ ‎，，且单调递增，‎ ‎，，一定存在唯一的，使得，‎ 即，，‎ 且当时，，即；当时，，即.‎ 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ ‎，‎ 因此，的最小整数值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得即. 直线的普通方程为， 被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得. ‎ ‎（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ ‎，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得， . ‎ 法2：当时点，易知点在直线上. 又，‎ 所以点在圆外.联立消去得，.‎ 不妨设，所以.‎