【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第7讲抛物线作业 7页

对应学生用书[练案60理][练案56文]‎ 第七讲　抛物线 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知抛物线y2＝24ax(a>0)上的点M(3，y0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为(　A　)‎ A．y2＝8x　　　 B．y2＝12x C．y2＝16x　　　 D．y2＝20x ‎[解析]　抛物线y2＝24ax(a>0)的准线方程为x＝－6a，点M(3，y0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y0)到准线的距离也为5，即3＋6a＝5，∴a＝，∴y2＝8x，故选A．‎ ‎2．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(　B　)‎ A．9　　　 B．8　　　‎ C．7　　　 D．6‎ ‎[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B．‎ ‎3．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF＝＝.‎ ‎4．(2019·山东泰安模拟)以F(0，)(p>0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为等边三角形，则抛物线C的标准方程为(　C　)‎ A．y2＝2x　　　 B．y2＝4x C．x2＝4y　　　 D．x2＝2y ‎[解析]　由题意，y＝－代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±.△MNF为等边三角形，∴p ‎＝×.∵p>0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y，故选C．‎ ‎5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．3　　　 D．2‎ ‎[解析]　过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ||PF|＝34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.‎ ‎6．(2019·山东青岛模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为(　D　)‎ A．　　　 B．1　　　‎ C．　　　 D．2‎ ‎[解析]　设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－.‎ 由得x2－2pkx＋p2＝0.‎ Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1.‎ 则Q(p，)，P(－p，)，‎ 所以△APQ的面积S＝×2p×p＝4，解得p＝2.‎ ‎7．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是(　B　)‎ A．y＝8x＋15　　　 B．y＝8x－15‎ C．y＝6x－11　　　 D．y＝5x－9‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，代入抛物线方程得y＝16x1，y＝16x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝，又y1＋y2＝2，所以kAB＝＝8，故直线l 的方程为y＝8x－15.‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5,3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为(　B　)‎ A．10　　　 B．11　　　‎ C．12　　　 D．13‎ ‎[解析]　当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值，即|MA|＋|MD|的最小值，根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值为xA－(－1)＝5＋1＝6.又|FA|＝＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11.‎ 二、填空题 ‎9．(2019·北京西城)已知圆(x－1)2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝__2___.‎ ‎[解析]　∵圆(x－1)2＋y2＝4与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，∴1＋＝2，解得p＝2.‎ ‎10．(2019·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是__5___.‎ ‎[解析]　抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.‎ ‎11．若抛物线C1：y2＝4x与抛物线C2：x2＝2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3，则p的值为　 　.‎ ‎[解析]　设A(xA，yA)，由题意可得xA>0，yA>0，xA＋1＝3，则xA＝2，y＝8，得yA＝2，所以A(2,2)，将A(2，2)代入C2：x2＝2py(p>0)得p＝.‎ ‎12．(2019·黑龙江模拟)设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2＝，则|AF|＋2|BF|＝__15___.‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1,0)，‎ ‎∴＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．‎ ‎∵2＝，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)，‎ ‎∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.‎ 将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y2＝16x，‎ 得y＝16x1，y＝16x2.‎ 又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.‎ 又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.‎ ‎∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(＋4)＝15.‎ 三、解答题 ‎13．(2019·山西康杰中学模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.‎ ‎(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；‎ ‎(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．‎ ‎[解析]　(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x2＝4y.‎ 解方程组得yA＝－2，‎ ‎∴|AF|＝－1.‎ ‎(2)设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，‎ 结合x＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.‎ 由|ON|＝1得＝1，‎ 即|py0|＝＝，‎ ‎∴p＝且y－1>0.‎ ‎∴|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，‎ 当且仅当y0＝时等号成立．‎ ‎∴|MN|的最小值为2，此时p＝.‎ ‎14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)，由点(，0)在直线l：x－y－2＝0上，得 eq f(p,2)－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1.2＝－p±，从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.‎ 因此，p的取值范围是(0，)．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·安徽模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D．2 ‎[解析]　焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，S△AOB＝×1×(2＋)＝.‎ ‎2．(2018·课标Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)‎ A．5　　　 B．6　　　‎ C．7　　　 D．8‎ ‎[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，‎ 即x＝y－2，由得y2－6y＋8＝0.‎ 由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，‎ ‎∴x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，‎ ‎∵F(1,0)，∴·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选D．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为(　C　)‎ A．4　　　 B．5　　　‎ C．6　　　 D．7‎ ‎[解析]　由题可知F(，0)，准线l的方程为x＝－，因为直线AF的斜率为－，所以直线AF的方程为y＝－(x－)，当x＝－时， y＝3，所以点A的坐标为(－，3)，因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，代入抛物线方程，得点P的坐标为(，3)，所以|PF|＝|PA|＝－(－)＝6.‎ ‎4．(2019·湖南六校联考，15)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点．若S△ABF＝，且|AF|<|BF|，则＝　 　.‎ ‎[解析]　设直线l的方程为x＝my－1，将直线方程代入抛物线C：y2＝4x的方程得y2－4my＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0<<1，y1＋y2＝4m，y1·y2＝4，又S△ABF＝，所以S△BPF－S△APF＝|y2－y1|＝，因此y＋y＝10，所以＝＝，从而＝，又由抛物线的定义与相似三角形可知＝＝，∴＝＝.‎ ‎5．(2019·福建宁德模拟)已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F，圆M：(x＋p)2＋y2＝p2，过F作垂直于x轴的直线交抛物线Γ于A，B两点，且△MAB的面积为6.‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程和圆M的方程；‎ ‎(2)若直线l1，l2均过坐标原点O，且互相垂直，l1交抛物线Γ于C，交圆M于D；l2交抛物线Γ于E，交圆M于G.求△COE与△DOG的面积比的最小值．‎ ‎[解析]　(1)∵抛物线焦点F坐标为(，0)，‎ 则lABx＝，联立∴或 故|AB|＝|y1－y2|＝2p，‎ ‎∴S△MAB＝×2p×p＝p2＝6，‎ 即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)显然l1，l2的斜率必须存在且均不为0，‎ 设l1的方程为y＝kx，则l2的方程为y＝－x.‎ 由得x＝0或x＝.‎ ‎∴C(，)，同理可求得E(4k2，－4k)．‎ 则S△COE＝|OC||OE|＝·|xC－0|··|xE－0|＝···4k2＝.‎ 设M(－2,0)到l1，l2的距离分别为d1，d2，‎ 则d1＝，d2＝，‎ 则S△DOG＝·2d1·2d2＝2··＝.‎ ‎∴＝·＝＝k2＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当k＝±1时，△COE与△DOG的面积比能取到最小值4.‎