19届秋四川省棠湖中学高三期末考试 文科数学试题 9页

- 1 - 2019 年秋四川省棠湖中学高三期末考试 文科数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知复数 z 满足 (1 3 ) 2 3i z i  （i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．圆的方程为 2 2 2 10 0x y x y     ，则圆心坐标为 A． (1, 1) B． 1( , 1)2  C． ( 1,2) D． 1( , 1)2   3．2019 年第十三届女排世界杯共 12 支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将 12 支队伍的积分制成 茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为 A．17.5 和 17 B．17.5 和 16 C．17 和 16.5 D．17.5 和 16.5 4．某公司有 3000 名员工，将这些员工编号为 1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽 取 200 人进行“学习强国”的问卷调查，若 84 号被抽到则下面被抽到的是 A．44 号 B．294 号 C．1196 号 D．2984 号 5．已知直线 1 : 2 2 0l x y   ， 2 : 4 1 0l ax y   ，若 1 2l l ，则实数 a 的值为 A．8 B．2 C． 1 2  D． 2 6．执行如图所示的程序框图，则输出 n 的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设 2:log 0p x  ， :3 3xq  ，则 p 是 q 的 A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 8．若抛物线 2 16x y 上一点 0 0,x y 到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，则 0y  A． 1 2 B． 2 C．1 D． 2 9.若函数 2( ) 2f x x ax   与 ( ) 1 ag x x   在区间[1,2] 上都是减函数，则 a 的取值范围 A． ( 1,0) (0,1)  B． ( 1,0) (0,1]  C. (0,1) D． (0,1] - 2 - 10．设点 P 是圆 2 2( 1) ( 2) 2x y    上任一点，则点 P 到直线 1 0x y   距离的最大值为 A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 2 2 2 11．已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆 2 24 1 0x x y    的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则 双曲线离心率的取值范围是 A． 2 3(1, )3 B． (1,2) C． 2 3( , )3  D． (2 )  12．如图，三棱锥 P ABC 的四个顶点恰是长、宽、高分别是 m，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体 积为 2，则该三棱锥外接球体积的最小值为 A． 256 3  B． 8 2 3  C． 32 3  D．36 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．若实数 ,x y 满足 1 0 0 0 x y x y x         ，则 2z x y  的最小值是______． 14．斜率为 2 的直线 l 经过抛物线 2 8y x 的焦点 F,且与抛物线相交于 ,A B 两点,则线段 AB 的长为_____. 15. 若倾斜角为 的直线l 与曲线 3y x 相切于点 1,1 ，则 2cos sin2  的值为_____. 16．已知两圆 2 2 1 : 4 2 1 0C x y x y     与 2 2 2 : 4 4 17 0C x y x y     ，则它们的公共弦所在直线方 程为______. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17．（12 分）某公司在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如 图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的. - 3 - （I）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度； （II）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代 表该组的取值）； （III）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x （单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y （单位：百万元） 2 3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 y 关于 x 的回归方 程.;附公式： 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx         ， a y bx $ $ . 18. （12 分）已知函数 2( ) 2 3sin cos 2cos 1f x x x x   ， ( )x R （I）当 [0, ]2x  时，求函数 ( )f x 的最小值和最大值； （ II）设 ABC 的内角 , ,A B C 的对应边分别为 , ,a b c ，且 3c  ， ( ) 0f C  ，若向量 (1,sin )m A 与向 量 (2,sin )n B 共线，求 ,a b 的值. 19.（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD  平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， 60BAD   ， 2AB  ， 6PD  ，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点． （I）证明：平面 EAC  平面 PBD ； （II）若 / /PD 平面 EAC ，求三棱锥 P EAD 的体积． [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 20．(12 分)已知动圆 M 在圆 1F ： 2 2 1( 1) 4x y   外部且与圆 1F 相切，同时还在圆 2F ： 2 2 49( 1) 4x y   - 4 - 内部与圆 2F 相切． （I）求动圆圆心 M 的轨迹方程； （II）记（1）中求出的轨迹为C ，C 与 x 轴的两个交点分别为 1A 、 2A ， P 是C 上异于 1A 、 2A 的动点，又 直线 : 6l x  与 x 轴交于点 D ，直线 1A P 、 2A P 分别交直线l 于 E 、F 两点，求证： DE DF 为定值． 21.（12 分） 已知函数 ln( ) 1 a b xf x x   在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2x y  （I）求 ,a b 的值； （II）若对函数 ( )f x 定义域内的任一个实数 x ，都有 ( )xf x m 恒成立，求实数 m 的取值范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为         ty tx 2 21 2 21 （t 为参数）．在以原点 O 为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为  cos4 ． （I）写出直线l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程． （II）若点 P 坐标为（1，1），圆 C 与直线l 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值． 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 1x y z   （I）证明： 2 2 2 1 3x y z   ； （II）设 , ,x y z 为正数，求证： 1 1 1( 1)( 1)( 1) 8x y z     . - 5 - - 6 - 2019 年秋四川省棠湖中学高三期末考试 文科数学试题参考答案 1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 11．D 12．C 13． 2 1 14．10 15． 1 2  16． 0834  yx 17．（Ⅰ）设各小长方形的宽度为 m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知  0.08 0.1 0.14 0.12 0.04 0.02 0.5 1m m        ，故 2m  ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是           0,2 , 2,4 , 4,6 , 6,8 , 8,10 , 10,12 ， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04 ， 故可估计平均值为1 0.16 3 0.2 5 0.28 7 0.24 9 0.08 11 0.04 5            ； （Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填 5． 由题意可知， 1 2 3 4 5 35x      ， 2 3 2 5 7 3.85y      ， 5 1 1 2 2 3 3 2 4 5 5 7 69i i i x y             ， 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x        ， 根据公式，可求得 2 69 5 3 3.8 12 1.255 5 3 10 ˆb       ， 3.8 1.2 3 0ˆ .2a     ， 即回归直线的方程为 1.2 .2ˆ 0y x  ． 18. （Ⅰ）错误！未找到引用源。 错误 ！未找到引用源。错误！未找到引用源。，当 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。有最小值为错误！未找到引用源。 当 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。有最大值为错误！未找 到引用源。 (Ⅱ)错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。与向量错误！未找到引用源。共线 错误！未找到引用源。 由正弦定理错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。① 错误！未找到引用源。，由余弦定理可 得错误！未找到引用源。② [来源:Zxxk.Com] ①②联立可得错误！未找到引用源。 - 7 - 19.（1）证明：∵ PD  平面 ABCD ， AC  平面 ABCD ， ∴ AC PD ． ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC BD ． 又∵ PD BD D ，∴ AC  平面 PBD ， 而 AC  平面 EAC ， ∴平面 EAC  平面 PBD ． （2）连接OE ， ∵ / /PD 平面 EAC ，平面 EAC  平面 PBD OE ，∴ / /PD OE ． ∵O 是 BD 的中点，∴ E 是 PB 的中点， 取 AD 的中点 H ，连接 BH ， ∵四边形 ABCD 是菱形， 60BAD   ，∴ BH AD ，又 BH PD ， AD PD D ， ∴ BH  平面 PAD ，且 3 32BH AB  ， 故 1 1 1 1 1 22 6 32 2 3 6 2 2P EAD E PAD B PAD PADV V V S BH               ． 20．（1）设动圆 M 的半径为 r ，由已知得 1 1 2MF r  ， 2 7 2MF r  ， 1 2 1 24MF MF F F  ＞ ，  M 点的轨迹是以 1F ， 2F 为焦点的椭圆， 设椭圆方程： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b＞ ＞ ），则 2a  ， 1c  ，则 2 2 2 3b a c   ， 方程为： 2 2 14 3 x y  ； （2）解法一：设 0 0 )(P x y， ，由已知得 1( 2,0)A  ， 2 2 0A（ ，），则 1 0 0 2PA yk x   ， 2 0 0 2PA yk x   ， 直线 1PA 的方程为：  1 0 0 22PA yl y xx   ： ， 直线 2PA 的方程为：  2 0 0 22PA yl y xx   ： ， 当 6x  时， ( 6,0)D ，    0 0 0 0 6 6 2 6 6 22 2 y yE Fx x             ， ， ， ， - 8 -      2 0 0 0 2 0 0 0 6 2 6 2 22 2 4 y y yDE DF x x x          ， 又 0 0 )(P x y， 满足 2 2 0 0 14 3 x y  ， 2 0 2 0 3 4 4 y x   ，  3 324 2DE DF     为定值． 解法二：由已知得 1( 2,0)A  ， 2 2 0A（ ，），设直线 1PA 的斜率为 1k ，直线 2PA 的斜率为 2k ，由已知得， 1k ， 2k 存在且不为零， 直线 1PA 的方程为： 1( 2)y k x ＝ ， 直线 2PA 的方程为： 2 ( 2)y k x ＝ ， 当 6x  时， ( 6,0)D ，      1 26 6 2 6 6 2E k F k ， ， ， ，     1 2 1 26 2 6 2 2DE DF k k k k      , 联立直线 1PA 和直线 2PA 的方程，可得 P 点坐标为  1 2 1 2 2 1 2 1 2 4k k k k k k k k       ， ， 将 P 点坐标代入椭圆方程 2 23 4 12x y  中,得       2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 4 163 4 12k k k k k k k k       ，[来源:学科网] 即 2 2 2 2 1 2 1 2 2 112( ) 64 12( )k k k k k k    ， 整理得 1 2 1 23 4( ) 0k k k k  ，  1 2 0k k  ， 1 2 3 4k k   ， 1 2 3 32 2 4 2DE DF k k      为定值． 22．解析：（1）直线 l 的参数方程为         ty tx 2 21 2 21 （t 为参数）． 消去参数 t 可得：直 线 l 的普通方程为： 02  yx .........................2 分 圆 C 的方程为  cos4 ．即  cos42  ， 可得圆 C 的直角坐标方程为： 4)2( 22  yx ．....................4 分 - 9 - （2）将         ty tx 2 21 2 21 代入 4)2( 22  yx 得： 2 2 2 2 0t t   ..................6 分 得 1 2 1 22 2 0, * 2 0,t t t t       ........................................................8 分 则 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 4.PA PB t t t t t t       ........................10 分