2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11 7页

www.ks5u.com 课时分层作业(十八)　平面与平面平行 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：‎ ‎①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ B　[把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B．]‎ ‎2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　　)‎ A．α，β都平行于直线l，m B．α内有三个不共线的点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β D　[A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l，m的平行线l′，m′，则l′，m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.]‎ ‎3．下列说法中，错误的是(　　)‎ A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行 C　[分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面．]‎ ‎4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b B．a∥b，b∥α，a⊄α⇒a∥α C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ D．α∥β，a∥α⇒a∥β D　[当α∥β且a∥α时，可能有a⊂β，也可能有a∥β，因此选项D中的命题不正确．]‎ ‎5．能够判断两个平面α，β平行的条件是(　　)‎ A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行 B．夹在两个平面间的线段相等 C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点 D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等 D　[平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．]‎ 二、填空题 ‎6．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________.‎ 　[∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB；同理，B′C′∥BC，A′C′∥AC．从而△ABC∽△A′B′C′.∵PA′∶AA′＝2∶3，即PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.]‎ ‎7．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题：‎ ‎①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；‎ ‎④⇒α∥β；⑤⇒a∥α；⑥⇒a∥α，‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ ‎①④　[①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a⊂α；⑥也是忽略了a⊂α的情形．]‎ ‎8．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P‎3A，P2D，P‎4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：‎ ‎①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎①②③④　[先把平面展开图还原为一个四棱锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可．]‎ 三、解答题 ‎9．如图，E，F分别是三棱柱ABCA1B‎1C1的棱AC，A‎1C1的中点，证明：平面AB‎1F∥平面BC1E.‎ ‎[证明]　由于四边形ACC‎1A1是平行四边形，‎ 所以FC1∥AE，且AC＝A‎1C1，由于E，F分别是AC，A‎1C1的中点，所以AE＝＝A‎1C1＝FC1，‎ 所以四边形AEC‎1F是平行四边形，所以AF∥EC1，‎ 而EC1在平面BC1E上，所以AF∥平面BC1E，连接EF，则由A‎1F＝A‎1C1＝＝AE，且A‎1F∥AE得四边形AEFA1是平行四边形，‎ 有EFAA1，又在平行四边形ABB‎1A1中有AA1BB1，‎ 所以EFBB1，则四边形EFB1B是平行四边形，有FB1∥BE，‎ 而BE在平面BC1E上，所以FB1∥平面BC1E，‎ 因为AF，FB1是平面AB‎1F上的两条相交直线，‎ 所以由AF∥平面BC1E，FB1∥平面BC1E，可得平面AB‎1F∥平面BC1E.‎ ‎10．如图，在四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D．‎ ‎[证明]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．‎ 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，‎ 所以BC∥平面AA1D．‎ 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，‎ 所以平面BCE∥平面AA1D．‎ 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，‎ 平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．‎ ‎11．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABCA1B‎1C1中，M，N分别为线段A1B，B‎1C上的动点，且MN∥平面ACC‎1A1，则这样的MN有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 D　[如图，过M作MQ∥AA1，交AB于点Q，过Q作QH∥AC，交BC于点 H，过点H作NH∥BB1，交B‎1C于点N.因为BB1∥AA1，所以NH∥MQ，则平面MQHN∥平面ACC‎1A1，则MN∥平面ACC‎1A1.因为M为线段A1B上的动点，所以这样的MN有无数条，故选D．‎ ‎]‎ ‎12．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α CD　[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．故选项A不是α∥β的充分条件；对于选项B，若存在一条直线a，a⊂α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故选项B不是α∥β的充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D是α∥β的一个充分条件．故选CD．]‎ ‎13．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：‎ ‎①BM∥平面ADE；‎ ‎②CN∥平面ABF；‎ ‎③平面BDM∥平面AFN；‎ ‎④平面BDE∥平面NCF.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎①②③④　[将展开图还原成如图1所示的正方体．‎ 图1　　　　　　　图2‎ 如图2，在正方体中，∵BM∥AN，∴BM∥平面ADE，同理可证CN∥平面ABF，∴①②正确．易知BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，∴平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．]‎ ‎14．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF∥平面AB‎1C，则EF＝________.‎ ‎2　[连接A‎1C1(图略)．设平面AB‎1C∩平面A‎1C1＝m.‎ ‎∵EF∥平面AB‎1C，EF⊂平面A‎1C1，∴EF∥m.‎ 又平面A‎1C1∥平面AC，平面AB‎1C∩平面A‎1C1＝m，平面AB‎1C∩平面AC＝AC，∴m∥AC，∴EF∥AC．‎ 又A‎1C1∥AC，∴EF∥A‎1C1.‎ ‎∵E为A1D1的中点，∴EF＝A‎1C1＝2.]‎ ‎15．如图所示，斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ ‎[解]　(1)如图所示，取D1为线段A‎1C1的中点，此时＝1.‎ 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，‎ 所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A‎1C1的中点，所以OD1∥BC1.‎ 又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.‎ 所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以＝，‎ 又由题(1)可知＝，＝1，所以＝1，‎ 即＝1.‎