- 120.00 KB
- 2021-05-10 发布
课时分层训练(七)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，求||的值．
[解] 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且＝，
(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝＝.
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，求·的值．
[解] 如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当
·取最小值时，求点Q的坐标．
[解] 由题意，设＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，
则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.
4．在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
图638
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 【导学号：62172340】
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．如图639，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，并证明A，G，C1三点共线．
图639
[解] ＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
因为＝3，所以A，G，C1三点共线．
2．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 【导学号：62172341】
[解] (1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
3．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以cos〈，〉＝
＝＝＝.
所以sin〈，〉＝，
所以以，为边的平行四边形的面积为
S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得
解得或
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
4．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
[解] (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈R)，
所以＝＋＝＋t
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.