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- 2021-05-10 发布
第三节 基本不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(对应学生用书第95页)
[基础知识填充]
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．几个重要的不等式(注意逆应用)
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
[知识拓展] ≤≤≤(a＞0，b＞0)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( )
(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )
(4)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(5)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(6)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√
2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.]
3．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
C [∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，
即x＝－1时取等号．
∴f(x)有最大值－4.]
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
C [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2
＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C．]
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)
≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时，ymax＝25.]
(对应学生用书第96页)
利用基本不等式求最值
(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．
(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
【导学号：97190201】
(1) (2)1 (3)5 [(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥2＝4，
当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．
∴≤，∴ab≤.∴ab的最大值为.
法二：∵4a＋b＝1，
∴ab＝·4a·b≤＝，
当且仅当4a＝b＝，
即a＝，b＝(满足a＞0，b＞0)时，等号成立，
∴ab的最大值为.
(2)因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(3)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2＝5(当且仅当＝，
即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.]
[规律方法] 利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
易错警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
[跟踪训练] (1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知a＞0，b＞0，则的最小值为( )
A． B．1
C．2 D．4
(2)(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
(3)(2017·四川乐山一中月考)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
(1)D (2)8 (3) [(1)＝a＋2b＋≥2＝4，当且仅当a＋2b＝，即a＋2b＝2时等号成立，则的最小值为4.故选D．
(2)∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，
∴＋＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．
故2a＋b的最小值为8.
(3)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时，等号成立．
∵∈，
∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.]
基本不等式的实际应用
某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解] (1)由题意得，
y＝，
即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，
当且仅当x＝，
即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
[易错警示] 解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[跟踪训练] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
C [设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．
故该容器的最低总造价是160元．]
利用基本不等式求参数的取值范围
(1)(2017·河南平顶山一模)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
(2)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
(1)A (2)36 [(1)∵对任意x＞0，≤a恒成立，
∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
(2)∵x＞0，a＞0，
∴f(x)＝4x＋
≥2＝4，
当且仅当4x＝，
即4x2＝a时，f(x)取得最小值．
又∵f(x)在x＝3时取得最小值，
∴a＝4×32＝36.]
[规律方法] 求解含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.
[跟踪训练] (1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________. 【导学号：97190202】
(1)B (2)2 [(1)(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立．
所以a≥4，故选B．
(2)依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.]