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- 2021-05-10 发布
第14讲 函数与方程及函数的应用
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：函数的零点
2018全国卷ⅠT9；2018全国卷ⅢT15；
2017全国卷ⅢT11；2014全国卷ⅠT11
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.求函数零点所在区间、零点个数及恒成立、能成立(存在性)问题是高考的命题热点，常与导数结合命题，难度较大.
2.函数的实际应用常与概率知识结合命题，考查学生的建模能力和数据处理能力.
题型2：恒成立、存在性问题
2015全国卷ⅠT12
题型3：函数的实际应用
2017全国卷ⅢT18；2016全国卷ⅠT19；
2015全国卷ⅠT19
题型1 函数的零点
(对应学生用书第68页)
■核心知识储备·
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数f(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
■高考考法示例·
【例1】 (1)已知函数f(x)＝－x，那么在下列区间中含有函数f(x
)零点的是( )
A． B．
C． D．
(2)(2018·安庆市二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝，且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2 x，则函数f(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
(3)(2018·西安市八校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax2，若f(x)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)B (3)C [(1)f(0)＝1＞0，f＝－＞0，f＝－＜0 ，f·f＜0，所以函数f(x)在区间必有零点，选B.
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)周期为2，作函数y＝f(x)，y＝g(x)图象，由图可得有两个交点，所以选B.
(3)函数f(x)＝ln x－ax2恰有两个不同的零点即等价于函数f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，
∵f′(x)＝－2ax＝(x＞0)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)内恒成立，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，其图象与x轴最多有一个交点，不合题意；当a
＞0时，x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x→＋∞时，f(x)→－∞，当x→0时，f(x)→－∞，故要使f(x)恰有两个不同的零点，只需满足f(x)max＝f＝－ln 2a－a·＞0，解得0＜a＜，故a的取值范围为，故选C．]
【教师备选】
(1)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
(2)已知实数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为________．
(1)(3,5) (2)(－∞，－2] [(1)∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，
且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，
∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．
当01且解得3A恒成立，则f(x)min>A；
(2)∀x∈D，均有f(x)＜A恒成立，则 f(x)maxg(x)恒成立，则f(x)＝ f(x)－ g(x) >0，∴ f(x)min>0；
(4)∀x∈D，均有f(x)＜g(x)恒成立，则f(x)＝ f(x)－ g(x) <0，∴ f(x)max<0；
(5)∀x1∈D, ∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max；
(6)∀x1∈D, ∀x2∈E，均有f(x1)A成立，则f(x)max>A；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＜A成立，则 f(x)ming(x0)成立，设f(x)＝ f(x)－ g(x)，∴f(x)max>0；
(4)∃x0∈D，使得f(x0) g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min；
(6)∃x1∈D, ∃x2∈E，使得f(x1) 0时，由x∈(0，＋∞)，得＜＋1＝，且＜，故0＜a＜.
综上可知，实数a的取值范围为，故选C．
(2)根据题意有64sin2α－32cos 2α≤0，即sin2 α≤，又0≤α≤π，故α的取值范围是∪.]
■对点即时训练·
1．(2018·乌鲁木齐模拟)设函数f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为( )
A．－1 B．2－
C．1＋2e2 D．1－
D [∵f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0，
∴a≥x3－3x＋3－.令g(x)＝x3－3x＋3－，则g′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)，
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，
故g(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故g(x)min＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选D.]
2．(2018·高台模拟)已知函数f(x)＝x＋，若对任意x∈R，f(x)＞ax恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1－e) B．(1－e,1]
C．[1，e－1) D．(1－e，＋∞)
B [函数f(x)＝x＋对任意x∈R，f(x)＞ax恒成立，∴x＋＞ax恒成立，
即＞(a－1)x恒成立．
设g(x)＝，h(x)＝(a－1)x，x∈R，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．
则满足不等式恒成立时，h(x)的图象在g(x)图象下方，
又g′(x)＝－e－x，故过原点(0,0)的函数g(x)的切线方程为y＝－.设切点(x0，y0)，则y0＝－e·x0，即e＝－e·x0，解得x0＝－1.
∴切线斜率为k＝－e＝－e，
∴应满足－e