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- 2021-05-09 发布
线段之和（折线段）定值问题探究
2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出与的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出点的轨迹方程，再判断点的轨迹为椭圆，然后直接求出是定值．
一、题目：
如图，在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右焦点分别为，．
已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
二、命题组解法：
（1）椭圆的方程为．
（2）（ii）由（1）得，，又所以∥， 所以设、的方程分别为，．
所以．
所以
．①
同理，．②
所以∥，所以，即．
所以．
由点在椭圆上知，，所以．
同理，．
所以
由①②得，，，
所以．
所以是定值．
三、轨迹解法：
（1）椭圆的方程为．
（2）（ii）如右图，设的延长线交椭圆于，
设，，，
由对称性，，其中，
由（1）得，.
设的方程分别为，
由，
显然，，，
因为共线，且所在直线有斜率，所以 ①，
因为共线，且所在直线有斜率，所以 ②，
首先由①②得，，
即
，
再把①、②式取倒数，然后相减得，
即，，
所以，
由以上计算得：，即 ，
消去得：，这表明在椭圆上，
此椭圆的焦点恰好为，，故.
所以是定值.
显然，轨迹解法很容易列出
的方程组，难点是在消去参数上技巧比较强，但是这个方法显然是转化为最常规的直线与圆锥曲线位置关系问题（利用根与系数关系问题），体现了解析几何最为基本的转化，整个解题过程体现了转化为通性通法的基本解题思路.