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- 2021-05-09 发布
【2018年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)①确定函数零点；
②确定函数零点的个数；
③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．
(2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题．
(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．
利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．
【重点、难点剖析】
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． ]
3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
【题型示例】
题型 1、函数与方程问题
【例1】【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 ▲ .
【答案】8
【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【举一反三】已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．
①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x＞a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图①实线部分所示，其图象与直线y＝b可能有两个公共点.
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图②实线部分所示，其图象与直线y＝b至多有一个公共点.
③若a＞1，则a3＞a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图③实线部分所示，其图象与直线y＝b可能有两个公共点．
综上知，a<0或a>1.
图① 图② 图③
【变式探究】已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(，＋∞)
不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，且m>0，解得m> .故所求实数m的取值范围是.
【特别提醒】
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
题型二 函数的零点
例2、 (1)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)答案：C
【变式探究】(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x
)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【方法技巧】
1．确定函数零点的常用方法
(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法．
(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识．
(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．
2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：
(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解．