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- 2021-05-09 发布
2020学年度第一学期上海市鲁迅中学高三数学月考试卷
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.
1.已知集合，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式解法和对数函数定义域要求分别求得集合和集合；由交集定义求得结果.
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解、对数函数定义域的求解，属于基础题.
2.不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式的右边移到左边，通分后变为一元二次不等式来求解.
【详解】 .故填(1,2).
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法.
对于不等式右边不是零的分式不等式，要将右边转化为，通分后转化为一元二次不等式来求解.解分式不等式的过程中，等价于，但是要注意的是是等价于，也即分式的分母不能为零.属于基础题.
3.若函数，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次根式被开方数大于等于零可求得定义域，取交集得到的定义域，将解析式相加可得所求结果.
【详解】定义域为：；定义域为：
的定义域为
故答案为：
【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.
4.方程的解__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由对数真数大于零可构造不等式组求得；利用对数运算法则可将原方程化简为同底对数相等的形式，进而得到真数相等，解方程求得结果.
【详解】由题意得：，解得：
，解得：（舍）或
故答案为：
【点睛】本题考查对数方程的求解问题，通过对数运算法则将方程转化为同底对数相等的式子；易错点是忽略定义域的要求，导致求解结果出现增根.
5.要使函数在区间上存在反函数，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据反函数存在的条件可得函数在上单调；根据二次函数对称轴的位置可得不等式，解不等式求得结果.
【详解】要使函数在区间上存在反函数，则在上单调
对称轴为 或
或
故答案为：
【点睛】本题考查反函数存在的条件，函数存在反函数的条件为：函数必须为一一对应的函数；
特别的，当函数为连续函数时，就必须是单调函数才有反函数.
6.函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数画出函数的图像，根据图像的最高点和最低点，求得函数的最大值以及最小值，由此求得函数的值域.
【详解】由于，故函数在区间
上单调递减，在区间上单调递增.由此画出函数图像如下图所示，由图可知.故填.
【点睛】本小题主要考查对钩型函数的值域，考查了利用导数求函数的单调区间的方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.
7.已知定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用时，可代入求得；利用奇函数的定义可求得结果.
【详解】当时，
是定义在上的奇函数
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，解决此类问题的基本步骤为：
（1）利用不等式变换将所求区间转化到已知区间；
（2）代入解析式求得已知区间对应的解析式；
（3）根据奇偶性可得所求区间与已知区间解析式的关系.
8.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可得，并且在上为增函数；从而将所求不等式转化为；利用单调性可得到自变量的大小关系，从而解不等式求得结果.
【详解】是定义在上的偶函数 图象关于轴对称
又在上减函数 在上为增函数
由可得：
即，解得： 解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解决此类问题的关键是能够通过奇偶性得到对称区间的单调性，利用单调性将函数值的比较转变为自变量的大小关系.
9.如图所示，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）．
【答案】对角线互相垂直
【解析】
本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
考点：线线垂直.
10.函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是______．
【答案】1＜＜4
【解析】
分析】
根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】∵|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，
∴当1≤x≤2时，|f（x）﹣a|＜2恒成立，
即﹣2＜f（x）﹣a＜2，
∴a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，
∵1≤x≤2，
∴2≤f（x）≤3，
∴要使a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，
则，
即，
∴1＜a＜4，
故答案为：1＜a＜4
【点睛】（1）本题主要考查充分条件，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立.
11.已知偶函数满足：，并且当时，，函数与函数的交点个数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇偶性可求得时，的解析式；由知为周期为
的周期函数；再同一坐标系中画出与的图象，根据图象可求得交点个数.
【详解】当时，
为偶函数
当时，
由知：为周期为的周期函数 值域为
与的图象如下图所示：
当时，，此时
由图象可知：与的交点个数为个
故答案为：
【点睛】本题考查函数交点个数的求解问题，涉及到利用奇偶性求解函数的解析式、函数周期性的应用、函数图象翻折变换等知识。处理函数交点个数问题的常用方法是采用数形结合的方式，通过函数图象得到结果.
12.设命题函数的值域为；命题不等式对一切正实数均成立，若命题和不全为真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数型复合函数值域可知是
的值域的子集，根据二次函数图象分析可得不等关系，求得命题为真时，；利用换元法将转化为，求解的最值可求得命题为真时，；求出当全为真时的范围，取补集得到结果.
【详解】若命题为真，即值域为
当时，，解得：，满足题意
当时，，解得：
综上所述：若命题为真，则
若命题为真，即不等式对恒成立
令，则
即若命题为真，则
当命题全为真命题时，
命题不全为真命题 的取值范围为：
故答案为：
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围，涉及到根据对数型复合函数的值域求解参数范围、不等式恒成立问题的求解等知识.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.
13.下列命题中假命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据和的单调性可判断为真命题；可通过分式不等式的求解判断为真命题；可通过反例验证为假命题.
【详解】选项：在上单调递减 当时，，原命题为真命题
选项：由得：，即 ，原命题为真命题
选项：在上单调递增 当时，，原命题为真命题
选项：若，则，原命题为假命题
故答案为：
【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及到利用函数单调性比较大小、分式不等式的求解、不等式性质的应用等知识.
14.若集合，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由分式不等式的求解得到集合；由对数函数性质可求得集合；根据集合的包含关系可求得结果.
【详解】
是的真子集 ，
“”是“”成立的必要非充分条件
故选：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够理解集合的包含关系与充分条件、必要条件之间的关系；涉及到分式不等式的求解、对数函数单调性的应用等知识.
15.关于函数，有下列四个命题：①值域是；②是奇函数；③在上单调递增；④方程总有四个不同的解；其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①中通过令可求得的值，可知值域包括，①错误；
②根据奇函数的定义可判断出②正确；
③中通过反例可确定在上不满足单调递增的定义，③错误；
④将方程变为，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，④正确.
【详解】①中，令，解得：，可知值域含有元素，则①错误
②中，由解析式可知定义域为
又 是奇函数，则②正确
③中，当时，；当时，
可知在上不满足单调递增的定义，则③错误
④由得：，即
整理可得：
与各有两个不等实根
又 不是两个方程的根
方程总有四个不同的解，则④正确
故选：
【点睛】本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误.
16.设函数，其中表示中的最小者，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的意义可得分段函数解析式，进而得到函数图象；分别在、、和四种情况下，结合单调性和函数值的大小关系构造不等式求得结果.
【详解】由的意义可得：
由此可得图象如下图所示：
①当时，，此时单调递增 ，满足题意
②当时， ，
，解得：或
③当时， ，
，解得：
④当时，，此时单调递减 ，不符合题意
综上所述：实数的取值范围为：
故选：
【点睛】本题考查根据函数值的大小关系求解参数范围的问题；关键是能够读懂新定义运算的含义，得到分段函数解析式和图象，涉及到分类讨论思想的应用.
三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
17.如图，四棱锥中，底面为正方形，面，，.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，可知所求角为；通过线面垂直的判定定理可证得平面，从而由线面垂直性质知，进而求得，得到所求结果；
（2）利用等体积法转化得到，根据三棱锥体积公式求得，设所求距离为，构造出关于的方程，解方程求得即可.
【详解】（1） 是异面直线与所成角
平面，平面
又，平面， 平面
平面
又，
异面直线与所成角大小为
（2）平面
平面，平面
又，平面， 平面
平面
设点到平面的距离为
，解得：
点到平面的距离为
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解、点到面的距离的求解问题；求解点到面的距离的常用方法有：
（1）定义法：在图形中作出点到面的距离，利用长度关系进行求解；
（2）等体积法：将问题转化为三棱锥的高的求解，利用等体积转化可构造方程求得结果；
（3）空间向量法：建立空间直角坐标系，根据点到面距离的求解公式来进行求解.
18.已知集合，
（1）当时，求集合；
（2）若,求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出集合，当时，求出集合，利用集合交集的定义，即可求解；
（2）根据，可得，利用集合的关系列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意，，解得，即集合，
当时，集合，
所以；
（2）由题意，不等式，
因为，解得，即集合，
又因为，可得，
可得，解得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的应用，以及集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.
（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
分析：（1）将对应的声音能量I1，I2，I3代入公式D=algI+b，根据满足D1+2D2=3D3建立等量关系，最后根据指数的运算性质可求出所求；
（2）根据声音能量为10-13W/cm2时，声音强度为30分贝，声音能量为10-12W/cm2时，声音强度为40分贝，建立关于a，b的方程组，解之即可求出公式D=algI+b的解析式，最后根据一般人在100分贝～120分贝的空间内建立不等式，解之即可．
详解：
（1）
，
（2）由题意得 .解得：
，
答：当声音能量时，人会暂时性失聪.
点睛：该题属于应用函数去解决实际问题，体现了数学来源于生活且服务于生活，在做题的过程中，找准关键点，从而得知往哪个方向思考，本题的关键是利用题中的解析式建立关系.
20.已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）函数的图象由函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值.
【答案】（1）；（2）函数在，上单调递减，证明见解析；（3）对称中心；
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数定义域关于原点对称可求得的值；
（2）设，整理出，由单调性定义得到在上单调递增；根据奇函数的对称性可得上的单调性；
（3）根据解析式可求得，从而得到对称中心；代入即可求得的值.
【详解】（1）为奇函数 定义域关于原点对称
由得： 时，定义域为，满足题意
（2）由（1）知：.
任取
，且
，
，即
在上单调递减
为奇函数 在上单调递减
在，上单调递减
（3）由题意得：
的一个对称中心为
又
【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到利用奇偶性求解参数值、根据单调性定义求解函数的单调区间、函数对称性的应用等知识.函数对称性的常见形式为：
（1）若，则关于对称；
（2）若，则关于对称.
21.定义：对函数，对于给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”．
（1）若函数为“性质函数”，求；
（2）判断函数是否是“性质函数”？若是，请求出，若不是，请说明理由；
（3）若函数为“性质函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）函数不是“性质函数”，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据可得方程，解方程求得结果；
（2）采用反证法，假设为“性质函数”，可整理得到，由判别式可知方程无根，从而假设错误，得到结论；
（3）根据对数函数定义域要求可知；利用整理可得方程：，分别在和两种情况下令方程有根，从而求得的范围.
【详解】（1）由题意得：，即：，解得：
（2）函数不是“性质函数”，理由如下：
假设存在且满足条件：
则，即：
方程无实根，与假设矛盾
不是“性质函数”
（3）且
由题意得：存在，使得
，即：
整理得：
当时，，满足题意
当时，由得：，即
解得：且
综上所述：
【点睛】本题考查函数中的新定义运算的求解问题，关键是能够准确理解新定义运算的含义，将问题转化为一元二次方程是否有解得讨论、方程有解求解参数范围的问题；易错点是在方程二次项系数含参数时，忽略对于二次项系数是否为零的讨论.