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- 2021-05-08 发布
专题36二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次【解析】式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.应用
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1、(1)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________.
(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A.－3 B.1 C. D.3
【答案】 (1) (2)B
由解得
即B，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－
(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，
解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.
【方法规律】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【变式探究】 若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
高频考点二 求目标函数的最值问题
例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为________.
【答案】 (1)－10 (2)3
【举一反三】若变量x，y满足约束条件
且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】 B
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示．
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.
由得
∴A(－1，－1)．
由得
∴B(2，－1)．
当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.
【变式探究】实数x，y满足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．
(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1,2)，
∴kOB＝＝2，即zmin＝2，
∴z的取值范围是[2，＋∞)．
(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．
因此x2＋y2的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2.
由得A(0,1)，
∴|OA|2＝()2＝1，|OB|2＝()2＝5，
∴z的取值范围是(1,5]．
高频考点三 求线性规划的参数
例3、(1)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A.－5 B.3
C.－5或3 D.5或－3
(2)已知变量x，y满足则z＝()2x＋y的最大值为________.
【答案】 (1)B (2)4
(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m＝2x＋y，由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线y＝－2x＋m的纵截距最大，此时m最大，故z最大.由
解得即A(1，2).代入目标函数z＝()2x＋y得，z＝()2×1＋2＝4.
【感悟提升】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：
①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．
【变式探究】(1)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
(2) x，y满足约束条件
若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【答案】 (1)B (2)D
高频考点四 线性规划的实际应用
例4、(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，
生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
【答案】 216 000
【感悟提升】解线性规划应用问题的一般步骤：
(1)分析题意，设出未知量；
(2)列出线性约束条件和目标函数；
(3)作出可行域并利用数形结合求解；
(4)作答．
【变式探究】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【答案】 D
【解析】 设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得
目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A处取到最大值．
由得A(2,3)．
则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．
1.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
．故选C．
2.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
3.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
4.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由 得 ，即，则．
5.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
6.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故，当时，
，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当，时，，当时，，可行域为大的弓形内部，目标函数，同理可知当，时，，综上所述，.
9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【考点定位】线性规划．
10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A
11．（2014·安徽卷）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
【答案】D
【解析】
方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2), 则zA＝2，zB＝－2a，zc＝2a－2.
要使对应最大值的最优解有无数组，
只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，
解得a＝－1或a＝2.
方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.
12．（2014·北京卷）若x，y满足
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
【答案】D
13．（2014·福建卷）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．
【答案】1
【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，
把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，则当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1.
14．（2014·广东卷）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
15．（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
【答案】－2
【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)
处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.
16．（2014·全国卷）设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
【答案】5
17．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
【答案】B
【解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．
18．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8 C．3 D．2
【答案】B
19．（2014·山东卷）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2 时，a2＋b2的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2 ＝2a＋b，所以2 －2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2 －2a)2＝5a2－8 a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8 a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.
20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
方法二：∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2，2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
21．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
22．（2014·浙江卷）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.当a≤0时，0≤y≤，1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4不可能恒成立；当a>0时，借助图像得，当直线z＝ax＋y过点A时z取得最小值，当直线z＝ax＋y过点B或C时z取得最大值，故解得1≤a≤.故a∈.
23．(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
【答案】C
24．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
【答案】B
【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
25．（2013·安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【答案】D
上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 .
26．（2013·北京卷）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
27．（2013·广东卷）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．
【答案】6
【解析】由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z＝x＋y在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．
28．（2013·湖南卷）若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，
可知在点C处x＋2y取最大值为.
29．（2013·江苏卷）抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
【答案】.
30．（2013·陕西卷）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
【答案】－4
【解析】结合题目可以作出y＝∣x－1∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－1，2)时，z取最小值为－4.
31．（2013·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
【答案】A
32．（2013·浙江卷）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．
【答案】2
【解析】不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.
1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
【答案】 B
2．已知变量x，y满足约束条件若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是( )
A．(－6，－2) B．(－3,2)
C．(－，－2) D．(－，－3)
【答案】 C
【解析】 作出可行域，如图所示，
则目标函数z＝x－2y在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3，
∴a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．
令f(x)＝x2－kx＋1，
则⇒－0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】 画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，
要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，
即－a<－，∴a>.