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- 2021-05-08 发布
2010~2014年高考真题备选题库
第8章 平面解析几何
第7节 抛物线
1．（2014湖南，5分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.
解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.
答案：1＋
2．（2014新课标全国Ⅰ，5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B.
C．3 D．2
解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
答案：C
3．（2014新课标全国Ⅱ，5分）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝
·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.
答案：D
4．（2014辽宁，5分）已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B.
C. D.
解析：∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2 ①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得，即B(8，8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝，故选D.
答案：D
5．（2014山东，14分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：由题意知F.
设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①由(1)知F(1,0)，
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1,0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1,0)．
②由①知直线AE过焦点F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.
设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.
所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝＝＝
4.
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
6．（2014陕西，13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.
∴a＝2，b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0. (*)
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
7．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．
由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.
答案： C
8．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．
因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
答案：2 x＝－1
9．（2013江西，5分）抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝ ，则|AF|＝|AB|＝ ，所以＝sin ，即＝，解得p＝6.
答案：6
10．（2013湖南，13分）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．
(1)由题意，抛物线E的焦点为F，
直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)．
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，
所以00，所以点M到直线l的距离
d＝＝
＝.
故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
11．（2012山东，5分）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
答案：D
12．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(，0)，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为×6×12＝36.
答案：C
13．（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－
＝－＝.
答案：C
14．（2012天津，5分）已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
答案：2
15.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
答案：2
16．（2010浙江，4分）设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为(，0)，线段FA的中点B的坐标为(，1)，代入抛物线方程得1＝2p×，
解得p＝，故点B的坐标为(，1)，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
答案：
17．(2011新课标全国，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y ′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，所以
d＝＝(＋)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.