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- 2021-05-08 发布
第75题 抛物线中的基本问题
I．题 探究·黄金母题
【例1】如图，直线抛物线相交于，两点，为抛物线的顶点，求证：．
【解析】设点，的坐标分别为．
把代入中，得，
化简得，解得
，
．
精彩解读
【试题 】人教A版选修2-1P73习题2．4A组T6．
【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的分析问题解决问题的能力．
【思路方法】结合一元二次方程韦达定理、两点斜率公式、两直线垂直位置关系的判定等解决问题．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标II】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】6
【命题意图】这类题主要考查抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质等．
【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，
由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，线段FN的长度：．
【例2】【2017高考北京卷】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为
）抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线与抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）．
【难点中心】
1．抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起 ，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2．涉及直线与抛物线的位置关系的问题，只要联立直线与抛物线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出 ，有时不一定要把结果及时求出 ，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理．
，联立求得点 的坐标，证明．
试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得．所以抛物线C的方程为．
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为．
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，．
由，得．
则，．因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为．
直线ON的方程为，点B的坐标为．
，
．故A为线段BM的中点．
【例3】【2017高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|= ，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
III．理论基础·解题原理
考点一 抛物线的定义及其应用
平面内与一个定点F和一条直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
图 形
范 围
顶 点
对称轴
轴
轴
焦 点
准线方程
离心率
焦半径（）
通 径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长公式
参数的几何意义
参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔
考点三 焦点弦问题
设为抛物线的焦点弦，，直线的倾斜角为，则
（1）；（2）；（3）以为直径的圆与准线相切；
（4）焦点对在准线上射影的张角为；（5）．
考点四 直线与抛物线位置关系
1．直线与抛物线位置关系的判定方法
设直线：，抛物线：，联立方程组，消去（或）得到一个关于（或）的方程，若是一次方程，方程有一个解，直线与抛物线交于一点；若是一元二次方程：
当时，方程有两个不同的实数解，直线与抛物线有两个公共点，直线与抛物线相交；
当时，方程有两个相同的实数解，直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切；
当时，方程没有实数解，直线与抛物线没有公共点．
2．抛物线的弦长问题
斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则弦长
．
当直线的斜率不存在时，可直接求得直线与抛物线的交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线与抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）．
【技能方法】
1．利用抛物线的定义可以解决以下问题：
（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以判断动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用，体现了等价转化的思想．
2．抛物线的标准方程及性质是高考热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度：（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线性质的研究．
【易错指导】
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．对于抛物线标准方程中参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．[ :学 ]
3．当直线与抛物线只有一个交点时，直线与抛物线的位置关系可以相切，也可以相交（此时该直线与抛物线的对称轴平行）．
V．举一反三·触类旁通
考向一 抛物线的定义与标准方程
【例1】（1）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交
轴于点．若为的中点，则 ；
（2）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于两点，过分别作y轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．
在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故线段的长度：．
（2）由，知，焦点，准线．
根据抛物线的定义，．因此．
所以取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又为最小值．
故的最小值为4－2＝2．学 ！
【跟踪练习】
1．已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
[ : +
2．设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为 （ ）
A．相离 B．相切 C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
【答案】B
考向二 抛物线的几何性质
【例2】（1）（2017河南联考）抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
（2）动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．
【答案】（1）B；（2）．
【解析】（1）设，由抛物线定义知，，又△MFO的面积为，解得（舍去）．所以抛物线的方程为．
（2）设直线l的方程为，联立，消去，得
，即，则抛物线的方程为．
【例3】（1）若抛物线上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
（2）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______．
【答案】（1）B；（2）．
（2）由椭圆，知．
因此椭圆的右焦点为，又抛物线的焦点为．
依题意，得，于是抛物线的准线．
反思提炼：
1．求抛物线的标准方程的方法：
（1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
（2）因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
3．确定及应用抛物线性质的技巧
（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，
关键是将抛物线方程化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
【跟踪练习】
1．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
2．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D．
【解析】将化为．
当时，准线，则．
当时，准线，则．
∴抛物线方程为或．
3．设F为抛物线C：的焦点，曲线与C交于点P，轴，则k＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】由抛物线C：知，∴焦点．又曲线与曲线C交于点P，且轴，，将点代入，得．
考向三 直线与抛物线位置关系
【例4】【2018辽宁葫芦岛期中】已知直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设， ，联立，得，由得，∴， ，∴，即，∴，故选D
【例5】已知抛物线：过点．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为；（2）详见解析．
【解】（1）由抛物线：过点，得，所以抛物线C的方程为．
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为．
（2）证明：由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，．
由，得，则，．
因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为．
直线的方程为，点的坐标为．
，故为线段的中点．
【跟踪练习】
1．【2018四川南充一诊】已知抛物线，直线， 为抛物线的两条切线，切点分别为，则“点在上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
(1)因为P在l上，所以=−1，所以，所以PA⊥PB；∴甲是乙的充分条件；(2)若PA⊥PB， ，即，从而点P在l上．∴甲是乙的必要条件，故选C．
2．设点P (-2，1)在抛物线x2=2py(p>0)上，且到圆C:x2+ (y+b)2=1上点的最小距离为1．
(1)求p，b的值；
(2)过点P作斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点A，B，若直线AB与圆C相交于不同两点M，N，当△PMN面积取最大值时，求直线AB的方程．
把y=x+t代入圆C:x2+(y-1)2=1中，消去y得2x2+2(t-1)x+t2-2t=0，因为直线与圆相交于不同两点，所以1-