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- 2021-05-08 发布
算法、概率与统计中的创新考法与学 素养
授课提示：对应学生用书第66页
提分策略一 探究命题新情景考查应用能力
此类问题多以现实中的生活实例或最新时事为背景考查概率、统计的求解及应用．
(2018·合肥模拟)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20,60 内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：
年龄
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60
使用人数
45
30
15
15
未使用人数
0
10
20
45
(1)为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该商场预计有12 000人(年龄在[20,60 内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋．
(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的概率．
解析：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，
若某日该商场有12 000人(年龄在[20,60 内)购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×＝7 000.
(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20,30)内的顾客中选出3人，[30,40)内的顾客中选出2人，[40,50)内的顾客中选出1人，[50,60 内的顾客中选出1人．
记从年龄在[20,30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：
AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，
BC，Ba，Bb，Bc，Bd，
Ca，Cb，Cc，Cd，
ab，ac，ad，
bc，bd，
cd，
共21种，
其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的情况有3种，
所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的概率为＝.
[对点训练
30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下：
(1)下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
面试分数
[0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400
人数
a
10
4
1
频率
b
(2)该大学的某部门从1 5号学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在100分以下的概率．
解析：(1)面试分数在[0,100)内的学生共有30－10－4－1＝15名，
故a＝15，b＝＝，
估计这些学生面试分数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120分．
(2)从1 5号学生中任选两人的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，
观察题图易知1号，4号，5号学生的面试分数在100分以下，
故选择的两人的面试分数均在100分以下的选择方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，
故选择的两人的面试分数均在100分以下的概率为.
提分策略二 引入数学文化考学 素养
数学文化与算法、概率的融合命题是高考的热点，多为选择、填空题．
(2018·郑州模拟)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：n＝1，S＝2；n＝2，S＝2＋＋2＝；n＝3，S＝＋＋4＝；n＝4，S＝＋＋8＞10，结束循环．则输出的n为4，故选B.
答案：B
点评 从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果．
[对点训练
欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直
径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．
解析：依题意，所求概率为P＝＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第141页
一、选择题
1．(2018·福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》．图中的Mod(N，m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图，则输出的i等于( )
A．23 B．38
C．44 D．58
解析：Mod(11,3)≡2成立，Mod(11,5)≡3不成立，i＝12；Mod(12,3)≡2不成立，i＝13；Mod(13,3)≡2不成立，i＝14；Mod(14,3)≡2成立，Mod(14,5)≡3不成立，i＝15；Mod(15,3)≡2不成立，i＝16；Mod(16,3)≡2不成立，i＝17；Mod(17,3)≡2成立，Mod(17,5)≡3不成立，i＝18；Mod(18,3)≡2不成立，i＝19；Mod(19,3)≡2不成立，i＝20；Mod(20,3)≡2成立，Mod(20,5)≡3不成立，i＝21；Mod(21,3)≡2不成立，i＝22；Mod(22,3)≡2
不成立，i＝23；Mod(23,3)≡2成立，Mod(23,5)≡3成立，Mod(23,7)≡2成立，结束循环．故输出的i＝23.故选A.
答案：A
2．(2018·益阳、湘潭联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,3，则输出v的值为( )
A．15 B．16
C．47 D．48
解析：执行程序框图，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2≥0，v＝1×3＋2＝5，i＝1≥0，v＝5×3＋1＝16，i＝0≥0，v＝16×3＋0＝48，i＝－1＜0，退出循环，输出v的值．
答案：D
3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：程序运行如下：n＝1，a＝5＋＝，b＝4，a＞b，继续循环；
n＝2，a＝＋×＝，b＝8，a＞b，继续循环；
n＝3，a＝＋×＝，b＝16，a＞b，继续循环；
n＝4，a＝＋×＝，b＝32，此时，a＜b.
输出n＝4，故选C.
答案：C
4．(2018·福州模拟)在检测一批相同规格质量共500 g的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为( )
A．2.8 g B．8.9 g
C．10 g D．28 g
解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为，所以这批航空用耐热垫片中非优质品的质量约为500×＝≈8.9 g.
答案：B
二、填空题
5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．
解析：由题意知甲组三名同学的成绩为88,92,93，乙组三名同学的成绩为90,91,92，则两组中各任取一名共有9种结果，成绩相同时只有一种结果，所以概率为.
答案：
6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是________．
解析：如图，设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，其内接正方形CEDF的边长为x，
则由△ADF∽△ABC，得＝，
即＝，解得x＝.
从而正方形CEDF的面积为S正方形CEDF＝2，
又Rt△ABC的面积为S△ABC＝，所以所求概率为P＝＝＝＝.
答案：
三、解答题
7．(2018·福州模拟)随着“互联 ＋交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某“共享自行车”运营公司为了了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了40名用户，得到用户的满意度评分如下：
用户编号评分
用户编号评分
用户编号评分
用户编号评分
1 78
2 73
3 81
4 92
5 95
6 85
7 79
8 84
9 63
10 86
11 88
12 86
13 95
14 76
15 97
16 78
17 88
18 82
19 76
20 89
21 79
22 83
23 72
24 74
25 91
26 66
27 80
28 83
29 74
30 82
31 93
32 78
33 75
34 81
35 84
36 77
37 81
38 76
39 85
40 89
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；
(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；
(3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(－s，＋s)之间，则满意度等级为“A级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？(精确到0.1 )
参考数据：≈5.48，≈5.74，≈5.92.
解析：(1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.
(2)由(1)中样本的评分数据可得
＝×(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，
则有s2＝×[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2 ＝33.
(3)由题意知用户的满意度评分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之间，满意度等级为“A级”，
由(1)中容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间的有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100 ＝50.0 .
另解：由题意知用户的满意度评分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之间，满意度等级为“A级”，调查的40名用户的评分数据在(77.26,88.74)之间的共有21人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100 ＝52.5 .
8．(2018·湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．
(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4 800元的概率．
解析：(1)由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20＝0.3.
这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150.
需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1，
需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2，
需求量为[140,160)的频率为0.015×20 ＝0.3，
需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20 ＝0. 25，
需求量为[180,200 的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数＝ 110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153.
(2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
所以当100≤x≤160时，y＝50x－30×(160－x)＝80x－4 800，
当160＜x≤200时，y＝160×50＝8 000，
所以y＝(x∈N)．
(3)因为利润不少于4 800元，所以80x－4 800≥4 800，解得x≥120.
所以由(1)知利润不少于4 800元的概率P＝1－0.1＝0.9.
9．(2018·洛阳模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，认真进行责任追究，派遣四个不同的专家组对A，B，C三座城市进行治霾落实情况检查．
(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，求A城市恰有两个专家组选取的概率；
(2)在检查的过程中专家组从A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：
分类
患呼吸道疾病
未患呼吸道疾病
合计
户外作业人员
40
60
100
非户外作业人员
60
240
300
合计
100
300
400
根据上面的统计结果，我们是否有超过99 的把握认为“户外作业”与“患呼吸道疾病”有关？
附： 2＝
P( 2≥ 0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P( 2≥ 0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：(1)若每个专家组随机选取一个城市进行检查，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每一个城市必须有专家组选取，共有36种不同方法，若设四个专家组分别为1,2,3,4，则各种选取方法如下表所示：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1,2
3
4
3
1,2
4
3
4
1,2
1,2
4
3
4
1,2
3
4
3
1,2
1,3
2
4
2
1,3
4
2
4
1,3
1,3
4
2
4
1,3
2
4
2
1,3
……
3,4
1
2
1
3,4
2
1
2
3,4
3,4
2
1
2
3,4
1
2
1
3,4
其中，A城市恰有两个专家组选取的有12种不同方法，如表中前三列所示．
故A城市恰有两个专家组选取的概率P＝＝.
(2) 2的观测值 ＝＝
16．16＞6.635，
所以有超过99 的把握认为“户外作业”与“患呼吸道病”有关．