人教a版数学【选修1-1】作业：模块综合检测（a）（含答案） 8页

模块综合检测(A) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．命题“若 A⊆B，则 A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题 的个数是( ) A．0 B．2 C．3 D．4 2．已知命题 p：若 x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则 x，y 全为 0；命题 q：若 a>b，则1 a<1 b.给出 下列四个复合命题：①p 且 q；②p 或 q；③綈 p；④綈 q.其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．以x2 4 －y2 12 ＝－1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x2 16 ＋y2 12 ＝1 B.x2 12 ＋y2 16 ＝1 C.x2 16 ＋y2 4 ＝1 D.x2 4 ＋y2 16 ＝1 4．已知 a>0，则 x0 满足关于 x 的方程 ax＝b 的充要条件是( ) A．∃x∈R，1 2ax2－bx≥1 2ax20－bx0 B．∃x∈R，1 2ax2－bx≤1 2ax20－bx0 C．∀x∈R，1 2ax2－bx≥1 2ax20－bx0 D．∀x∈R，1 2ax2－bx≤1 2ax20－bx0 5．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是( ) A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段 6．已知点 P 在曲线 y＝ 4 ex＋1 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( ) A．[0，π 4) B．[π 4 ，π 2) C．(π 2 ，3π 4 ] D．[3π 4 ，π) 7．已知 a>0，函数 f(x)＝x3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则 a 的最大值是 ( ) A．1 B．3 C．9 D．不存在 8．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6， 那么|AB|等于( ) A．10 B．8 C．6 D．4 9．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率 为( ) A. 6 B. 5 C. 6 2 D. 5 2 10．若当 x＝2 时，函数 f(x)＝ax3－bx＋4 有极值－4 3 ，则函数的解析式为( ) A．f(x)＝3x3－4x＋4 B．f(x)＝1 3x2＋4 C．f(x)＝3x3＋4x＋4 D．f(x)＝1 3x3－4x＋4 11．设 O 为坐标原点，F1、F2 是x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点 P， 满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝ 7a，则该双曲线的渐近线方程为( ) A．x± 3y＝0 B. 3x±y＝0 C．x± 2y＝0 D. 2x±y＝0 12．若函数 f(x)＝x2＋a x(a∈R)，则下列结论正确的是( ) A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数 D．∃a∈R，f(x)是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知 p(x)：x2＋2x－m>0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数 m 的取值 范 围 是 ________________________________________________________________． 14．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点与抛 物线 y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 ________________________________________________________________________． 15．若 AB 是过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且 AM、 BM 与坐标轴不平行，kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率，则 kAM·kBM＝________. 16．已知 f(x)＝x3＋3x2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值 3，那么在[－3,3]上 f(x)的最大 值是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)已知 p：2x2－9x＋a<0，q：x2－4x＋3<0 x2－6x＋8<0 ，且綈 q 是綈 p 的必要条件， 求实数 a 的取值范围． 18．(12 分)设 P 为椭圆 x2 100 ＋y2 64 ＝1 上一点，F1、F2 是其焦点，若∠F1PF2＝π 3 ，求△F1PF2 的面积． 19.（12 分）已知两点 M（－2，0）、N（2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN→ ||MP→ | ＋MN→ ·NP→＝0，求动点 P(x，y)的轨迹方程． 20．(12 分)已知函数 f(x)＝ax2－4 3ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在(1,2)处的切线方程． 21.(12 分)已知直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 交于 A，B 两点． (1)求 a 的取值范围； (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值． 22．(12 分)已知函数 f(x)＝ln x－ax＋1－a x －1(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当 a≤1 2 时，讨论 f(x)的单调性． 模块综合检测(A) 答案 1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有 2 个真命题．] 2．B [命题 p 为真，命题 q 为假，故 p∨q 真，綈 q 真．] 3．D [双曲线x2 4 －y2 12 ＝－1，即y2 12 －x2 4 ＝1 的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2 3)．所以对 椭圆y2 a2 ＋x2 b2 ＝1 而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为y2 16 ＋x2 4 ＝1.] 4．C [由于 a>0，令函数 y＝1 2ax2－bx＝1 2a(x－b a)2－b2 2a ，此时函数对应的图象开口向上， 当 x＝b a 时，取得最小值－b2 2a ，而 x0 满足关于 x 的方程 ax＝b，那么 x0＝b a ，ymin＝1 2ax20－bx0 ＝－b2 2a ，那么对于任意的 x∈R， 都有 y＝1 2ax2－bx≥－b2 2a ＝1 2ax20－bx0.] 5．A [∵P 为 MF1 中点，O 为 F1F2 的中点， ∴|OP|＝1 2|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a， ∴|PF1|＋|PO|＝1 2|MF1|＋1 2|MF2|＝a. ∴P 的轨迹是以 F1，O 为焦点的椭圆．] 6．D [∵y＝ 4 ex＋1 ，∴y′＝ －4ex ex＋12. 令 ex＋1＝t，则 ex＝t－1 且 t>1， ∴y′＝－4t＋4 t2 ＝4 t2 －4 t. 再令1 t ＝m，则 00， 即 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 14.x2 4 －y2 12 ＝1 解析 由双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 3x 得b a ＝ 3，∴b＝ 3a. ∵抛物线 y2＝16x 的焦点为 F(4,0)，∴c＝4. 又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋( 3a)2， ∴a2＝4，b2＝12. ∴所求双曲线的方程为x2 4 －y2 12 ＝1. 15．－b2 a2 解析 设 A(x1，y1)，M(x0，y0)， 则 B(－x1，－y1)， 则 kAM·kBM＝y0－y1 x0－x1 ·y0＋y1 x0＋x1 ＝y20－y21 x20－x21 ＝ －b2 a2x20＋b2 － －b2 a2x21＋b2 x20－x21 ＝－b2 a2. 16．57 解析 f′(x)＝3x2＋6x，令 f′(x)＝0， 得 x＝0 或 x＝－2. 又∵f(0)＝a，f(－3)＝a， f(－2)＝a＋4，f(3)＝54＋a， ∴f(x)的最小值为 a，最大值为 54＋a. 由题可知 a＝3，∴f(x)的最大值为 57. 17．解 由 x2－4x＋3<0 x2－6x＋8<0 ，得 10， 即－ 60， 此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0， 此时 f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． ②当 a≠0 时，由 f′(x)＝0， 即 ax2－x＋1－a＝0，解得 x1＝1，x2＝1 a －1. a．当 a＝1 2 时，x1＝x2，g(x)≥0 恒成立， 此时 f′(x)≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减． b．当 01， x∈(0,1)时，g(x)>0， 此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； x∈ 1，1 a －1 时，g(x)<0， 此时 f′(x)>0，函数 f(x)单调递增； x∈ 1 a －1，＋∞ 时，g(x)>0， 此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调递减． c．当 a<0 时，由于1 a －1<0. x∈(0,1)时，g(x)>0， 此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； x∈(1，＋∞)时，g(x)<0， 此时 f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 综上所述： 当 a≤0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增； 当 a＝1 2 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当 0