数学北师大版（2019）必修第二册：2-5-1 向量的数量积 学案与作业 7页

§5 从力的做功到向量的数量积 5.1 向量的数量积 (15 分钟 30 分) 1.已知平面向量 a, b 的夹角为 ,|a|=1,|b|=2,则 a·(a+b)=( ) A.3 B.2 C.0 D.1+ 【解析】选 C.因为 a, b 的夹角为 ,|a|=1,|b|=2,所以 a·b=1×2× =-1,则 a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0. 2.设向量 a,b 满足|a+b|= ,|a-b|= ,则 a·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【 解 析 】 选 A.|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, 将 上 面两式左右两边分别相减,得 4a·b=4,所以 a·b=1. 3.已知在△ABC 中,AB=AC=4, · =8,则△ABC 的形状是________三 角形 ( ) A.直角 B.等腰直角 C.等边 D.钝角 【解析】选 C. · =| || |cos ∠BAC,即 8=4×4cos ∠BAC,于是 cos∠BAC= .又因为 0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又 AB=AC,故△ ABC 是等边三角形. 4.单位向量 i,j 相互垂直,向量 a=3i-4j,则|a|=________. 【解析】因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5. 答案:5 5. 已 知 a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b), 若 |a|=2,|b|=3, 则 实 数 k 的 值 为 ________. 【 解 析 】 由 已 知 a · b=0,a2=4,b2=9, 由 (3a+2b) · (ka-b)=0 ⇒ 3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0,所以 12k-18=0,所以 k= . 答案: 6.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角θ;(2)求|a+b|. 【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得 4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将 |a|=4,|b|=3 代入上式求得 a·b=-6,所以 cos θ= = =- .又θ ∈[0,π],所以θ= . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a · b+|b|2=42+2 × (-6)+32=13, 所 以 |a+b|= . (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有( ) A.c⊥a B.c⊥b C.c∥b D.c∥a 【解析】选 A.因为 c·a=(a+b)·a=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos 120° =12+1×2×cos 120°=0,所以 c⊥a. 2.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】选 C.由(2a+b)·b=0,得 2a·b+b2=0, 设 a 与 b 的夹角为θ,所以 2|a||b|cos θ+|b|2=0. 所以 cos θ=- =- =- ,因为 0°≤θ≤180°,所以θ =120°. 3.若向量 a,b,c 均为单位向量,且 a⊥b,则|a-b-c|的最小值为( ) A. -1 B.1 C. +1 D. 【解析】选 A.因为 a,b,c 均为单位向量,且 a⊥b,所以 a·b=0, 所以|a-b|= = = , 所以|a-b-c|≥|a-b|-|c|= -1. 4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的 一点,则 · 的取值范围是( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 【 解 析 】 选 A. 设 P(x,y), 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 A(0,0),B(2,0), =(x,y), =(2,0),所以 · =2x,由题意可得点 C 的横坐标为 3,点 F 的横坐标为-1,所以-1=0. 所以 =λ =λ( - ), = + = +λ( - )=λ +(1-λ) . 所以 · =[λ +(1-λ) ]·λ( - )=λ2| |2-λ(1-λ)| |2=4 λ2-4λ(1-λ)=8λ2-4λ=8 - . 由二次函数的性质,可知 · ∈ . 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7. 已 知 平 面 向 量 α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β), 则 |2α+β| 的 值 是 ________. 【解析】|α|=1,|β|=2,由α⊥(α-2β)知,α·(α-2β)=0,2α·β=1,所以 |2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|= . 答案: 8. 设 单 位 向 量 e1,e2 的 夹 角 是 , 且 a=-(2e1+e2),b=4e1-5e2. 则 = ________;a 与 b 的夹角为________. 【解析】因为 e1,e2 为单位向量,所以|e1|=|e2|=1, 因为|a|2=|-(2e1+e2)|2=4 +4e1·e2+ , 即|a|2=4|e1|2+4|e1||e2|cos +|e2|2, 所以|a|2=4×12+4×12×cos +12=7, 解得|a|= ; 因为 a·b=-(2e1+e2)(4e1-5e2)=-8 +6e1·e2+5 =-8×12+6×12×cos +5 ×12=-8+3+5=0,所以 a⊥b,即 a 与 b 的夹角为 . 答案: 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知|a|=2|b|=2,且向量 a 在向量 b 方向上的投影数量为-1.(1)求 a 与 b 的夹角θ;(2)求(a-2b)·b; (3)当λ为何值时,向量λa+b 与向量 a-3b 互相垂直? 【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1. 又 a 在 b 方向上的投影数量为|a|cos θ=-1, 所以 a·b=|a||b|cos θ=-1, 所以 cos θ=- ,所以θ= . (2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3. (3)因为λa+b 与 a-3b 互相垂直, 所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=0, 所以 4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ= . 10.已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且 |ka+b|= |a-kb|(k∈R), (1)求 a·b 关于 k 的解析式 f(k); (2)若 a∥b 且方向相同,试求 k 的值. 【解析】(1)因为|a|=|b|=1,且|ka+b|= |a-kb|(k∈R),两边同时平 方可得:k2 +2ka·b+ =3 , 所以 k2+2ka·b+1=3-6ka·b+3k2, 8ka · b=2k2+2, 所 以 a · b= = (k+ ),k ∈ R+, 所 以 f(k)= = (k+ ),k∈R+. (2)因为 a∥b 且方向相同,|a|=|b|,所以将 a=b 代入 a·b= (k+ ), 可得 =1,解得 k=2± . 已知|a|=1,|b|=1,a,b 的夹角为 120°,计算向量 2a-b 在向量 a+b 方向 上的投影数量. 【解析】(2a-b)·(a+b)=2a2+2a·b-a·b-b2=2a2+a·b-b2=2×12+1×1 ×cos 120°-12= . |a+b|= = = =1. 设向量 2a-b 与向量 a+b 的夹角为θ, 所以|2a-b|cos θ=|2a-b|· = = .所以向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影数量为 . 关闭 Word 文档返回原板块