【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(15) 4页

‎(七十二)‎ ‎1．已知a，b满足2a＋3b＝1，则直线4x＋ay－2b＝0必过的定点为(　　)‎ A．(，)　　　　　　　 B．(，－)‎ C．(，) D．(，－)‎ 答案　D 解析　∵2a＋3b＝1，又由4x＋ay－2b＝0，‎ 得－a＋b＝1，∴∴选D.‎ ‎2．垂直于x轴的直线交双曲线x2－2y2＝2于不同的两点M，N，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，设直线A1M与A2N交于点P(x0，y0)，则x02＋2y02的值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案　D 解析　设M(x1，y1)，则N(x1，－y1)，y1≠0，∵A1(－，0)，A2(，0)，∴直线A1M的方程为y＝(x＋)　①，直线A2N的方程为y＝(x－)　②，由①×②，得y2＝(x2－2)．∵x12－2y12＝2，∴y2＝－(x2－2)，即x2＋2y2＝2.∵P(x0，y0)是直线A1M与A2N的交点，∴x02＋2y02＝2.‎ ‎3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则＋＝________．‎ 答案　 ‎4．已知曲线C：y2＝2px(p>0)．O为原点，A，B是C上两个不同点，且OA⊥OB，则直线AB过定点________．‎ 答案　(2p，0)‎ ‎5．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A，B作C的切线l1，l2，则l1与l2的交点在定直线l上，那么l的方程为________．‎ 答案　x＝－ ‎6．(2019·云南昆明一中一模)已知动点M(x，y)满足＋＝2.‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎(2)设过点N(－1，0)的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C(点C与点B不重合)，证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．‎ 答案　(1)＋y2＝1　(2)定点为(－2，0)‎ 解析　(1)由题意，得动点M的轨迹为椭圆，且a＝，c＝1，所以b＝1，所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，又直线BC的方程为y－y2＝(x－x2)，‎ 所以y＝x－，‎ 令y＝0，则x＝＝＝＝－2，‎ 所以直线BC与x轴交于定点(－2，0)．‎ ‎7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：x12＋x22为定值，并求该定值．‎ 答案　(1)＋y2＝1　(2)4‎ 解析　(1)依题意，c＝，而e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，‎ 则椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由于·＝－，则x1x2＝－4y1y2，x12x22＝16y12y22.‎ 而＋y12＝1，＋y22＝1，则1－＝y12，1－＝y22，‎ ‎∴(1－)(1－)＝y12y22，则(4－x12)(4－x22)＝16y12y22，‎ ‎(4－x12)(4－x22)＝x12x22，展开，得x12＋x22＝4为一定值．‎ ‎8．(2019·辽宁盘锦一中月考) 如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)定值为0‎ 解析　(1)由题意，可得e＝＝，将A(1，)代入椭圆C的方程，得＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝c＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线BD的方程为y＝x＋m，∵A，B，D三点不重合，∴m≠0，设D(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 由Δ＝－8m2＋64>0，得－20.‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝1.‎ 由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，所以x1＋x2＝6，‎ 所以＝6，即k2＝1，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎ ‎(2)因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，－y1)，‎ 则直线BD的斜率为kBD＝＝＝，‎ 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y12＝4x－4x1.‎ 因为y2＝4x，x1x2＝1，所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，即y1y2＝－4(因为y1，y2异号)，‎ 所以(y2－y1)y－4－y12＝4x－4×，所以直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0.‎ 由解得所以直线BD过定点(－1，0)．‎ ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l与圆O：x2＋y2＝相切，求证：·为定值．‎ 答案　(1)9x2＋16y2＝1　(2)略 解析　(1)由题意得，2a＝，2b＝，所以a＝，b＝.‎ 所以椭圆C的方程为9x2＋16y2＝1.‎ ‎(2)①当直线l⊥x轴时，因为直线l与圆O相切，所以直线l的方程为x＝±.‎ 当直线l：x＝时，得M，N两点的坐标分别为(，)，(，－)，所以·＝0；‎ 当直线l：x＝－时，同理可得·＝0.‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 所以圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝，‎ 所以25m2＝1＋k2，由得(9＋16k2)x2＋32kmx＋16m2－1＝0，‎ 则Δ＝(32km)2－4(9＋16k2)(16m2－1)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝0.‎ 综上，·＝0(定值)．‎