2018届二轮复习空间关系、球与几何体组合练课件（全国通用） 22页

5.2　空间关系、球与几何体组合练 -2- 1.空间两条直线的位置关系有平行、相交、异面. 2.空间线面位置关系有平行、相交、在平面内. 3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a ⊄ α,b ⊂ α,a∥b ⇒ a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a ⊂ β,α∩β=b ⇒ a∥b. (3)面面平行的判定定理:a ⊂ β,b ⊂ β,a∩b=P,a∥α,b∥α ⇒ α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b ⇒ a∥b. 4.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m ⊂ α,n ⊂ α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n ⇒ l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α ⇒ a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a ⊂ β,a⊥α ⇒ α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a ⊂ α,a⊥l ⇒ a⊥β. -3- 5.异面直线的夹角与线面角 (1)异面直线的夹角:当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取 一点A作AB∥l2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l2 的夹角. (2)直线与平面的夹角:平面外一条直线与它在该平面内的投影的 夹角叫做该直线与此平面的夹角. 6.球的表面积及体积 (1)S球=4πr2(r为球的半径). -4- 7.球与几何体的外接、内切 (1)球与长方体外接:长方体的体对角线的交点为球心;长方体的 体对角线的长为球的直径; -5- 一、选择题 二、填空题 1.若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( A ) 解析: 设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体 对角线为球的直径, 2.(2017福建厦门二模,理11)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平 面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平 面α的个数是( B ) A.1 B.4 C.6 D.8 -6- 一、选择题 二、填空题 3.(2017广西名校联考,理6)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成的角的余弦 值是( D ) 解析: 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标 系, -7- 一、选择题 二、填空题 4.(2017全国Ⅲ,理8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( B ) 解析: 由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图 所示, -8- 一、选择题 二、填空题 5.(2017河北保定二模,理8)已知一个球的表面上有A,B,C三点,且 AB=AC=BC=2 .若球心到平面ABC的距离为1,则该球的表面积 为( A ) A.20π B.15π C.10πD.2π 解析: 由题意可得,平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形 ABC的外接圆O'. 设球O的半径为R,∵球心到平面ABC的距离为1, ∴由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5, ∴球O的表面积S=4πR2=20π,故选A. -9- 一、选择题 二、填空题 6.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析: 由△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大, 解得R=6,故S球=4πR2=144π. -10- 一、选择题 二、填空题 7.(2017福建厦门一中考前模拟,理9)在底面为正方形的四棱锥S- ABCD中,SA=SB=SC=SD,异面直线AD与SC所成的角为60°,AB=2, 则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为( B ) A.6π B.8π C.12πD.16π 解析: 取底面中心O,BC的中点E,连接SO,SE,OE, ∵AD∥BC,∴∠SCB为异面直线AD,SC所成的角,即∠SCB=60°. ∵SB=SC,∴△SBC是等边三角形. ∴OA=OB=OC=OD=OS, 即O为四棱锥S-ABCD的外接球球心. ∴外接球的表面积S=4π×( )2=8π.故选B. -11- 一、选择题 二、填空题 8.(2017宁夏银川二模,理9)已知点A,B,C,D在同一个球的球面 上,AB=BC= ,∠ABC=90°.若四面体ABCD体积的最大值为3,则 这个球的表面积为( D ) A.2π B.4π C.8π D.16π 解析: 由题意,得S△ABC=3.设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为 AC的中点, 当DQ与平面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为 如图,设球心为O,半径为R, 则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2, 即R2=( )2+(3-R)2,解得R=2, 则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D. -12- 一、选择题 二、填空题 9.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( B ) 解析: 由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相 切. -13- 一、选择题 二、填空题 10.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( A ) 解析: (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平 面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1, ∴m∥B1D1. ∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平 面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1. ∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即∠B1D1C等于m,n所成的角. ∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°, -14- 一、选择题 二、填空题 (方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1, 所以平面AEF即为平面α, m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角. 因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为 -15- 一、选择题 二、填空题 11.(2017四川成都三诊,理8)在我国古代数学名著《九章算术》中, 将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD 中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余 弦值为( A ) -16- 一、选择题 二、填空题 解析: 如图所示,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O, 则EF∥BD,EG∥AC,FO⊥OG, ∴∠FEG为异面直线AC与BD所成的角. -17- 一、选择题 二、填空题 12.(2017全国Ⅱ,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的 余弦值为( C ) 解析: 方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM, 可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角. -18- 一、选择题 二、填空题 取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形. 在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC -19- 一、选择题 二、填空题 -20- 一、选择题 二、填空题 13.(2017宁夏石嘴第三中学模拟,理15)已知三棱锥S-ABC的所有顶 点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥AC,SA=AB=AC=1,则球O 的表面积为3π　. 14.(2017天津,理10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这 个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　 . -21- 一、选择题 二、填空题 15.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,m ⊂ α,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有②③④　.(填写所有正确命题的编号)  解析: 对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错 误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则 n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面 平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可 知其正确.故正确命题的编号有②③④. -22- 一、选择题 二、填空题 16.(2017陕西咸阳二模,理16)已知一个三棱锥的所有棱长均为 , 则该三棱锥的内切球的体积为　 . 解析: 如图,O为该三棱锥的内切球的球心.因为正三棱锥的所有的 棱长均为 , 所以OE为内切球的半径.设OA=OB=R,