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- 2021-05-08 发布
舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试
高二文数
（总分：150分 时间：120分钟）
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．命题“，” 的否定是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，给出下列结论，其中正确的个数是（ ）
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A．0 B．1
C．2 D．3
4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）
A． B．
B． C． D．
5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为，则直线舒中高二期末文数 第2页 (共4页)
的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 （ ）
A．2 B．3 C．10 D．15
8．若满足约束条件则的取值范围是 （ ）
A．[0,6] B．[0, 4] C．[6, D．[4,
9．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的 （ ）
A．54 B．9 C．12 D．18
10．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，线段的垂直平分线过右顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为 （ ）
A． B． C． D．
12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13．某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．
14．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________．
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
15．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为__________．
16．已知函数，若,且 ，则的取值范围为__________．
三．解答题(本大题共6小题,共70分)
17．（本题满分12分）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围.
18．（本题满分12分）2019年8月8日是我国第十一个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人
中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
19．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求
点到平面的距离．
20．（本题满分12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的标准方程；
（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.
21．（本题满分12分）已知函数，．
（1）求函数图像在处的切线方程；
（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本题满分10分）[选修4−4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
23．（本题满分10分）[选修4−5：不等式选讲]
已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．
舒城中学2019-2020学年度第一学期高二期末
数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
B
B
D
C
D
D
C
D
A
二、 填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13.47； 14. 43 ； 15. 3 ； 16.
三．解答题(本大题共6小题,共70分)
17. 答案：（1），（2）
18. 【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) ;
【解析】（1）平均数．
前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，
则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．
（2）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率．
19. 【答案】（1）详见解析（2）．
【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
=2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥
CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．
20. 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解：由题意解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，
故设的方程为，，，
联立方程得消去，整理得，
∴，，，
，
当且仅当时等号成立，此时：，
所以面积的最大值为．
21. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】 (1)∵，∴.
又由，得所求切线：，
即所求切线为.
（2），，
（i）当时，；
（ii）当时，，；
（iii）当时，设，，
令，得下表：
单调递增
极大值
单调递减
+
0
-
∴，即不满足等式.
综上，.
22. 【答案】(1) (2)3
【解析】（1）把，展开得，
两边同乘得①．
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，
即得曲线的直角坐标方程为②．
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1＜0， t2＜0
则由参数t的几何意义即得.
23. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）
或 或
,不等式解集为.
（Ⅱ） , ,又,,
, ,
当且仅当 即时取等号,所以.