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- 2021-05-08 发布
武威六中2019-2020学年度第一学期第一次学段考试
高二数学（理）试卷
一、选择题。
1.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，进而可得△ABC的周长
【详解】椭圆 ，a=，长轴长2a=
设直线BC过椭圆的右焦点F2，根据椭圆的定义可知：
|AB|+|BF2|=2a=，|AC|+|F2C|=2a=．
∴三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a= ．故选：C
【点睛】椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF1|+|PF2|=2a；②当点P为短轴端点时，∠F1PF2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c）.
2.双曲线的一个焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的方程得，利用即可得焦点的坐标．
【详解】双曲线的方程为，则，得，
即焦点为,其中一个焦点坐标为:.
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查焦点坐标的求法，属于基础题．
3.抛物线的准线方程是，则的值是（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到的方程，解得即可．
【详解】抛物线的标准方程为，其准线方程为，
又抛物线准线方程为，得，解得.
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意化成抛物线的标准方程，属于基础题．
4.已知中心在原点的双曲线的一个顶点为，虚轴长为．则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得双曲线的焦点在轴上，再根据已知条件得，，从而得的标准方程．
【详解】∵中心在原点的双曲线的一个顶点为，则其焦点在轴上，得，
又其虚轴长为，则，解得，∴的标准方程是：．
故选：D．
【点睛】本题考查求双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，注意焦点在哪个轴上，属于基础题．
5.已知椭圆，长轴在轴上.若焦距为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得，，则，又其焦距为，即，解得的值即可．
【详解】由椭圆方程的长轴在轴上，得，，
则．又其焦距，即，解得，
所以，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的方程和几何性质，考查椭圆中的参数的关系，注意焦点在轴上，属于基础题．
6.设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m、n和c的关系求得n.
【详解】抛物线,
,焦点坐标为
椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同
椭圆的半焦距,即
，
，
椭圆的标准方程为，
故选B.
本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.
考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.
点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.
【此处有视频，请去附件查看】
7.相距米的两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（ ）
A. 双曲线的一支 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 抛物线
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可得：，根据双曲线的定义可判断出答案．
【详解】由已知条件可得：，
根据双曲线的定义可知：点在以为焦点，实轴长为米的双曲线上．
故选：B．
【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，属于基础题.
8.过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把代入椭圆方程求得的坐标，进而根据，推断出，整理得，解得即可．
【详解】已知椭圆的方程，由题意得把代入椭圆方程，
解得的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣），∵，∴，
即．∴，∴＝或＝﹣（舍去）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．
9.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：双曲线一条渐近线为，由题意，化简得，所以，，故选A．
考点：双曲线的性质．
10.为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．
【详解】∵椭圆，∴＝，b＝2，c＝2．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，
且F1、F2为左右焦点，由椭圆的定义得|F1P|+|PF2|＝＝，|F1F2|＝4，
∴|F1F2|2＝|PF1|+|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°
=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°
＝32﹣3|F1P|•|PF2|
＝16
∴|F1P|•|PF2|＝，∴＝|PF1|•|PF2|sin60°＝××＝．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查了余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
11.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到、两点的横纵坐标的和，则、中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．
【详解】设点，，联立，得：，
①．
，
＝．
设是线段的中点，∴（）．∴直线的斜率为
．
则,代入①满足△＞0（＞0，＞0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．
12.抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线上点，利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用二次函数性质求得其最小值即可．
【详解】因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离
，
，当时，．
故选：B．
【点睛】本题考查直线与抛物线上的点距离的最值问题，关键把距离表示为二次函数，借助二次函数性质解决问题,属于基础题.
二、填空题。
13.若是双曲线左支上一点，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线方程得，根据点在双曲线左支上，即可得的取值范围.
【详解】双曲线方程为：，其焦点在轴上，且，
又因为点在双曲线左支上，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的方程和简单的几何性质，属于基础题.
14.抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为，且焦点在直线上．则抛物线的方程为_____
【答案】
【解析】
【分析】
依题意，设抛物线的标准方程是，直线中，令可求得抛物线的焦点坐标，从而求得答案．
【详解】∵抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，∴设抛物线的标准方程为，
∵其焦点在直线上，∴令得，∴焦点．
∴，解得，∴抛物线的标准方程是．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，确定抛物线的标准方程的类型及其焦点坐标是关键，属于基础题．
15.直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（点在轴的上方），若，则_____
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，按直线的斜率不存在和存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，联立直线和抛物线方程，根据抛物线的定义得点的横坐标，利用韦达定理，得点的横坐标，即可求出．
【详解】由抛物线，得，
当直线的斜率不存在时，得，这时，不满足题意，舍.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，得．
设，，则，
根据抛物线的定义，得，解得，即，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，属于基础题．
16.椭圆的左、右焦点分别为为椭圆E上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆E的离心率的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，得，，设椭圆E上任一点，则
，将代入，消去得到关于的关系式，进而可得到当时，的值取到最大，进而可求出离心率的取值范围．
详解】由题意可得，，设椭圆E上任一点，
∵，∴，∴，
∴＝＝，∵，
∴当时，取到最大值为，即，
∴，∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
三、解答题.
17.如图所示，在中，，且的周长为20．建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，写出的坐标，由的周长为20，得，再根据椭圆的定义求出的轨迹方程.
【详解】以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，．因为，且的周长为20，所以.
根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为14的椭圆(除去与轴的交点)．
所以，，，即的轨迹方程为.
【点睛】本题考查了求点的轨迹方程，也考查了椭圆方程定义的应用和三角形的周长，注意不在同一直线上，属于中档题.
18.已知点的坐标分别是，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
设出点的坐标，表示出直线，的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程．
【详解】设动点,，则，整理得，且.
即.
当时，，表示圆心在原点，半径为2的圆；
当，即且时，方程，表示椭圆（除去与轴两个交点）；
当，即时，方程为，表示的双曲线（除去与轴两个交点）.
【点睛】本题考查轨迹方程的求解，熟练掌握斜率的计算公式及椭圆，双曲线的标准方程是解题的关键，利用条件建立方程，属于中档题．
19.点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件求出椭圆的，然后求解，即可得到方程；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式解得的值即可.
【详解】（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．
可得，解得，进而，
所以椭圆方程为：.
（2）设直线与曲线的交点分别为
联立得,
,即
又，
，化简，
整理得，∴，符合题意.
综上，.
【点睛】本题考查了求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属于中档题.
20.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线左支交于两点，求的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意设双曲线的方程为，把点代入中，解得即可；
（2）联立，由题意得设，且，利用韦达定理得的取值范围.
【详解】（1）因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线
的方程为，
把点代入中，即，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）联立，消去得：，①
因为直线与双曲线左支有两个交点，设，且，
解不等式，解得：，即.
综上：的取值范围是.
【点睛】本题考查了求双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，韦达定理的应用，属于中档题.
21.已知为抛物线的焦点，过垂直于轴的直线被截得的弦的长度为．
（1）求抛物线方程；
（2）过点，且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）抛物线的焦点为，把代入，截得的弦的长度为，解得即可；
（2）由题意得直线方程为，联立，得：，设，且抛物线的，将问题转化为，利用韦达定理将代入解得即可.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，把代入，
得，所以，因此抛物线方程为.
（2）设，过点，且斜率为直线方程为，
联立 ,消去得：
，
易知抛物线的，点在以为直径的圆内等价于，
解得：，符合.
综上：的范围是.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量数量积坐标的运算，韦达定理的应用，属于中档题.
22.已知椭圆的左、右焦点为别为、，且过点和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点和代入椭圆方程解得，即可得椭圆方程；
（2）当的斜率不存在时，易得；当的斜率存在时，设的方程为，联立，得：，设，利用韦达定理得，则，点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，则，得；进行比较，得出面积的最大值.
【详解】（1）根据题意得，将点和代入椭圆方程得：，
解得：，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得椭圆的，，
①当的斜率不存在时，易知，
；
②当的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，消去得：
设，，
，
点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
所以
综上，面积的最大值为.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，分类讨论的思想，弦长公式和点到直线的距离公式的应用，三角形面积的求法，属于中档题.