【数学】2020届一轮复习人教A版解决平面向量的线性表示问题学案 10页

‎2020届一轮复习人教A版 解决平面向量的线性表示问题 学案 ‎1.　如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，则＝________.(用a，b表示)‎ ‎【答案】－a＋b.‎ ‎2.　设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在△ABC中，＝＝，＝，‎ 所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，故λ1＋λ2＝.‎ ‎3.　如图在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，AC与BE交于R，若＝x＋y，则x＋y的值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在▱ABCD中，AD// CB，AE＝AD＝BC，所以△AER∽△CBR，因为AE＝BC，所以AR＝CR＝AC；所以＝＝(＋)，故x＋y＝. ‎ 根据等面积公式可得圆的半径r＝，即圆的方程是(x － 2)2＋y2＝，＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，若满足＝λ＋μ，即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上，所以圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.‎ 变式2　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．‎ ‎【答案】.‎ ‎（二）与系数相关的最值问题 例2. 已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，求||的最小值．‎ ‎【答案】－.‎ ‎【解析】以A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B，C，‎ 设P(cos θ，sin θ)，AQ＝＋＝(cos θ，sin θ)＋＝，＝＋＝＋ ‎＝，则||‎ ‎＝＝ ‎(α是以sinα＝，cosα＝的非特殊角)‎ 所以||＝≥ ‎＝＝＝－.‎ 变式1　已知O为三角形ABC的外心，AB＝2a，AC＝，∠BAC＝120°，若＝x＋y(x，y∈R)，求3x＋6y的最小值．‎ ‎【答案】6＋2.‎ ‎ ‎ 变式2　己知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，求4x＋y的最小值．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意可知，M, E，N三点共线，故设＝λ(0<λ<1)，而＝＝(＋)，所以＝λ，即－＝λ(－)，即(＋)－x＝λ(y－x)，即＋＝0，‎ 所以，即，‎ 故4x＋y＝＋＝[λ＋(1－λ)]＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝时，即λ＝时等号成立，故4x＋y的最小值是.‎ ‎（三）向量共线定理的应用 例3. 如图，在同一个平面内，向量、，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan ‎ α＝7，与的夹角为45°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由tan α＝7可得sin α＝，cos α＝，根据向量分解易得：‎ ，即，解得 所以m＋n＝3. ‎ 变式1　如图在△OMN中，A，B分别是OM ，ON的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，且点P落在四边形ABNM内(含边界)，求的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ 变式2　已知点O是△ABC的外心，AB＝AC＝2，若＝x＋y(xy≠0)，且x＋2y＝1，则△ABC的面积等于________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设D为AC中点，因为＝x＋y(xy≠0)，所以＝x＋2y·，故＝x＋2y，因为x＋2y＝1，所以B，O，D三点共线，即BD是△ABC的中线和高，又AB＝AC，故△ABC是等边三角形，从而S△ABC＝AB·AC·sin 60°＝. ‎ ‎1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，＝m＋n，则n－m＝________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为＝3，＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以m＝－，n＝，故n－m＝.‎ ‎2. 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ ‎【答案】.‎ ‎3. 如图所示，己知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM＝x，＝y，则的值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎4. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n>0)，求＋的最小值．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设＝a，＝b，则＝－a＋b，设＝λ，则＝＋＝a＋λb，因为＝m a＋n b，所以有1－λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋n＝1，从而＋＝＝＋＋≥＋2＝，(当且仅当m＝4－2，n＝取等号)．‎ ‎1．若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论正确的是________．‎ ‎(1) 若实数λ1，λ2使得λ1e1＋λ2e2＝，则λ1＝λ2＝0；‎ ‎(2) 空间任意一个向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)；‎ ‎(3)对于这一平面内的任意向量，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2有无数对．‎ ‎【答案】(1)．‎ ‎【解析】由基底的定义：e1，e2是平面上不共线的两个向量，因为实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，所以(1)正确；不是空间内任一向量都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，而是平面内的任一向量，可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，且λ1，λ2是唯一解，所以(2)(3)均错误，故本题选(1)． ‎ ‎(法2)建立如图所示的直角坐标系xOy， ‎ ‎10. 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝AH，若＝x＋y，求x＋y的值．‎ ‎【答案】.‎ ‎11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如下图所示，连结MN交AC于P，设＝t＝t(λ＋μ)，所以x＝tλ，y＝tμ，x＋y＝t(λ＋μ ‎)，故问题等价于求t的最小值， ‎ ‎12. 如图，经过△ABO的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】连接OG并延长，交AB于点C，因为G是△ABC的重心，即OC是△ABC的中线，所以＝，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋　①，因为＝m，所以＝　②，同理可得＝　③，将②③‎ 代入①可得＝＋，即＝＝＋，设＝λ(0<λ<1)，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，根据平面向量基本定理，有⇒＋＝1⇒＋＝3，故＋的值为3.‎