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- 2021-05-08 发布
送分专题(一) 集合与常用逻辑用语
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2017
卷Ⅰ
集合的基本运算、指数不等式的解法·T1
1.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2.高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
卷Ⅱ
集合的交集、一元二次方程的根·T2
卷Ⅲ
集合的表示、集合的交集运算·T1
2016
卷Ⅰ
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
卷Ⅱ
集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2
卷Ⅲ
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
2015
卷Ⅰ
特称命题的否定·T3
卷Ⅱ
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
集合的概念及运算
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
2．(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
解析：选B A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝，结合Venn图知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
4．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
解析：选B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，与y＝3，y＝5时，没有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.
5．已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是( )
A．{－1,0,2} B.
C．{－1,2} D.
解析：选A 因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{－1,0,2}．
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到集合中的元素，想到代表元素的意义；看到点集，想到其对应的几何意义．
2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集．
准 解 题
1.记牢集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2.活用集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．
避误区
1.在求集合的子集时，易忽视空集．
2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
充分与必要条件的判断
[题点·考法·全练]
1．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
2．(2017·惠州三调)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.
3．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
4．已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选A 由<1，可得－1＝<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
5．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
[准解·快解·悟通]
快审题
看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件).
用妙法
等价转化法妙解充分与必要条件判定题
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
避误区
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
命题真假的判定与命题的否定
[题点·考法·全练]
1．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题
解析：选B 对于选项A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”为假命题，故其逆否命题为假命题，综上可知，选B.
2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B 当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b
＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性．
2.看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要改变的两个地方．
3.看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．
准 解 题
掌握判定命题真假的4种方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．
(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称命题的真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，则A∩B等于( )
A．{－1,1} B．{－1,3}
C．{1,3} D．{3,1，－1}
解析：选C ∵A＝{x|－2－2}，∁UB＝{x|x≥1或x≤－2}，A⊆∁UB，∁UA＝{x|x<1}，B⊆∁UA，故选A.
8．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．28 D．25
解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和，2和这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.
9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p：>，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 命题p等价于00，必有a＝0或则0≤a<4，所以命题p是命题q的充分不必要条件．
10．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
C．p是真命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
D．p是真命题，綈p：∀x∈，f(x)>0
解析：选C 因为f′(x)＝3cos x－π，所以当x∈
时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，即对∀x∈，f(x)1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则綈q对应的a的范围是(－∞，2]．因为p且綈q为真命题，所以实数a的取值范围是(1,2]．
12．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则O是△ABC的垂心；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
∵·＝·，
∴·(－)＝0，即·＝0，
∴⊥.
同理可知⊥，⊥，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
∵y＝x是减函数，
∴当M >N时，MN时，MN”是“M>N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
二、填空题
13．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：________________________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点
14．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M∪P)＝________.
解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，
所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．
则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．
答案：{(2,3)}
15．已知命题p：不等式＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________．
解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q是假命题，所以①③正确．
答案：①③
16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．
解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．
由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.
同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．
答案：c，a，b
送分专题(二) 函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2017
卷Ⅰ
利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T5
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
卷Ⅲ
分段函数与不等式的解法·T15
2016
卷Ⅰ
函数图象的判断·T7
2015
卷Ⅰ
偶函数的定义·T13
卷Ⅱ
分段函数求值·T5
函数图象的判断·T10
函数及其表示
[题点·考法·全练]
1．(2017·广州综合测试)已知函数f(x)＝
则f(f(－3))＝( )
A. B．
C．－ D．3
解析：选D 因为f(－3)＝2－2＝，
所以f(f(－3))＝f＝1－log2＝3.
2．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：选D 要使函数y＝有意义，
则解得
即－1≤x≤1且x≠－，
所以该函数的定义域为∪.
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－1，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
答案：
4．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式为________．
解析：由题意知：a≠0，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以2a＋ab＝0，b＝－2.所以f(x)＝－2x2＋2a2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a2＝2.所以f(x)＝－2x2＋2.
答案：f(x)＝－2x2＋2
5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则解得0≤a＜.
答案：
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到求定义域，想到解析式中自变量的限制条件．
2.看到分段函数，想到在不同的定义区间上的对应关系不同．
准 解 题
掌握分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断.
函数的图象及应用
[题点·考法·全练]
1．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y＝的图象大致是( )
解析：选D 易知函数y＝是偶函数，可排除B，当x>0时，y＝xln x，y′＝ln x＋1，令y′>0，得x>e－1，所以当x>0时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.
2．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选B 函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象，因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A、C、D，选B.
3．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是( )
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C 因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，由于函数g(x)是二次函数，值域不会是选项A、B，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．
[准解·快解·悟通]
快审题
看到图象问题，想到函数的性质及特殊点(值).
准 解 题
巧用识别函数图象的4种方法
(1)特例排除法：其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点．
(2)性质验证法：根据函数的单调性，判断图象的变化趋势；根据函数的奇偶性，判断图象的对称性；根据周期性，判断图象的循环往复．
(3)图象变换法：有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．
(4)导数法：判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
用妙法
数形结合法妙解函数有关问题
对于函数中值域问题、零点问题、参数范围问题常利用数形结合法．在解题过程中，可以先根据题意作出草图，然后参照草图的形状、位置、性质，综合图象的特征得出结论.
函数的性质及应用
[题点·考法·全练]
1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析：选A “∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于f(x)在(0，＋∞)上为减函数，易判断f(x)＝－x满足条件．
2．(2017·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(0，)
C．(，＋∞) D．(1，)
解析：选B ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－)＝f()，∴f(2log3a)>f()．∵2log3a>0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log3a<⇒log3a<⇒00时，函数f(x)为增函数，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到比较大小、求函数最值、解不等式问题，想到利用函数的单调性．
2.看到函数是周期函数，想到转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
3.看到求参数范围，想到转化为关于参数的不等关系．
准 解 题
1.掌握判断函数单调性的常用方法
数形结合法、结论法(“增＋增”得增、“减＋减”得减及复合函数的“同增异减”)、定义法和导数法.
2.熟知函数奇偶性的3个特点
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3.记牢函数周期性的3个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
避误区
函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析：选C 由题意知
∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝|x|
解析：选B A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝( )
A．1 B．－1
C．－ D．
解析：选B 由题意得f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln＋b，
∴b＝，∴log2＝－1.
4．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选C 由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a＝2，b＝5，∴f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
5．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若f(x＋2 017)＝则f·f(－7 983)＝( )
A．2 016 B.
C．4 D.
解析：选C 由题意得，f＝sin＝1，
f(－7 983)＝f(2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，
∴f·f(－7 983)＝4.
6．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
解析：选A 函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B、C，又当x趋近于π时，y＝趋近于0，故选A.
7．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D 由题意知，当x＞时，f＝fx－，则f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当x＜0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.
8．如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.
9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
10．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析：选C ∵f(x)＝的图象与x轴，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，
∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，c<0，故选C.
11．定义在R上的函数f(x)对任意00的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：选C (转化法)由<1，可得<0.令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或00，又f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x，所以f(log49)＝f(log23)＝－2－log23＝－2log2＝－.
答案：－
15．若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象，由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得10且a，b不共线．由a·b＝2＋k>0得k>－2，又k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
答案：2
5．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
解析：因为＝，
故＝，解得λ＝.
答案：
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．
避误区
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.
平面向量在几何中的应用
[题点·考法·全练]
1．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D在边AC上，且2＝，则·的值是( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 法一：由题意得，·＝0，·＝·(－)＝||2＝36，∴·＝·(＋)＝·＝0＋×36＝24.
法二：(特例法)若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0)，C(0,6)．
由2＝，得D(4,2)．
∴·＝(6,0)·(4,2)＝24.
2.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)··＝≥(当且仅当x＝y时取等号)．
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：选B 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.
4．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点P在线段BC上运动，且满足＝λ，当·取到最小值时，λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC＝4，P(x,0)(0≤x≤4)，则A(3，)，C(4,0)，∴·＝(3－x，)·(4－x,0)＝(3－x)(4－x)＝x2－7x＋12＝2－.
当x＝时，·取得最小值－.
∵＝λ，∴＝λ(－4,0)，
∴－4λ＝－，解得λ＝.故选D.
5.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
解析：因为＝＋＝＋，
＝＋＝－，
所以·＝·＝
||2－||2－·＝2，
将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.
答案：22
[准解·快解·悟通]
快审题
看到有关几何图形问题，想到选取合理基底，想到建立适当的坐标系.
准 解 题
1.记牢2个常用结论
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
2.掌握用向量解决平面几何问题的方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
用妙法
特例法妙解图形中平面向量数量积问题
解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解.
一、选择题
1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A 因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1，1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以解得
法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，由a＋λb与c共线可知＝，解得λ＝－.
3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A．13＋6 B．2
C. D．
解析：选D 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.
4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.
5．(2017·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2
＝1××cos ＋2×＝＋＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.
法二：(特例法)设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝ ＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.
6．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选A 由题意知＝(2,1)，＝(5,5)，
则在方向上的投影为||·cos〈，〉＝＝.
7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，
在△ABD中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°
＝2＋12－2××1×＝，
即AD＝，同理可得AE＝，
在△ADE中，由余弦定理得
cos∠DAE＝
＝＝，
所以·＝||·||cos∠DAE
＝××＝.
法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以＝，＝，所以·＝·＝－＋＝.
8．(2017·东北四市模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，
所以n＝1－m且0y>0，m>n，则下列不等式正确的是( )
A．xm>ym B．x－m≥y－n
C.> D．x>
解析：选D A不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m可能为0或负数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，因为m，n的正负不确定．故选D.
3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数f(x)＝则不等式f(x－1)≤0的解集为( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x≤3}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}
解析：选D 由题意，得f(x－1)＝当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x<2时，由22－x－2≤0，解得1≤x<2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}．
4．已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x>0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B．
C. D．(－∞，6]
解析：选C 根据题意，由于1＋2x＋(a－a2)·4x>0对于一切的x∈(－∞
，1]恒成立，令2x＝t(00⇔a－a2>－，故只要求解h(t)＝－(0＜t≤2)的最大值即可，h(t)＝－－＝－2＋，又≥，结合二次函数图象知，当＝，即t＝2时，h(x)取得最大值－，即a－a2>－，所以4a2－4a－3<0，解得－0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2.掌握不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；
f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
避误区
解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.
基本不等式及其应用
[题点·考法·全练]
1．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．
答案：0
2．(2017·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，
所以2a＋3b－ab＝0，
即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．
答案：5＋2
3．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.
答案：4
4．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
[准解·快解·悟通]
快审题
看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
准 解 题
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x
)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
避误区
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
简单的线性规划问题
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，
当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
2．(2017·郑州第二次质量预测)已知直线y＝k(x＋1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B.
C. D.
解析：选C 画出可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线y＝k(x＋1)过定点M(－1,0)，
由解得过点M(－1，0)与A(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选A 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
2．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＞b2 B.＞1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞0
解析：选C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当a＞b时，2a＞2b，故选C.
3．(2017·兰州模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x·y的最大值为( )
A．16 B．8
C．4 D．3
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.
4．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：选D ∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
5．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.
6．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④若a＞b，则＞.
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当d2＝2，即a>1.
9．(2017·长沙模拟)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是( )
A．0 B．－2
C．2 D．6
解析：选C 1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，
即变量x，y满足约束条件
即
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x－2y在A(2，－1)，C(4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.
10.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
解析：选D 由f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得或即或所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
11．(2017·九江模拟)已知点P(x，y)满足过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：选D 不等式组
所表示的平面区域为△CDE及其内部(如图)，其中C(1,3)，D(2，2)，E(1,1)，且点C，D，E均在圆x2＋y2＝14的内部，故要使|AB|最小，则AB⊥OC，因为|OC|＝，所以|AB|＝2×＝4，故选D.
12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D 根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则
目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.
二、填空题
13．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：
作出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得
∴zmin＝－5.
答案：－5
14．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x
恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝2－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤.
答案：
15．(2017·湖南五市十校联考)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．
由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点B(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合．综上可知k＝2.
答案：2
16．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤，所以t的最大值为.
答案：
送分专题(五) 空间几何体的三视图、表面积与体积
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2017
卷Ⅰ
空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7
1.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”
主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．
2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4
卷Ⅲ
球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T 8
2016
卷Ⅰ
有关球的三视图及表面积的计算·T6
卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6
卷Ⅲ
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9
直三棱柱的体积最值问题·T10
2015
卷Ⅰ
锥体体积的计算·T6
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T11
卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T6
三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T9
空间几何体的三视图
[题点·考法·全练]
1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选C 依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于，正视图的长是，因此相应的正视图的面积等于×＝2.
2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
解析：选B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图
②.
3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3 B．2
C．2 D．2
解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为
AC1＝＝＝2.
[准解·快解·悟通]
快审题
看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(注：三视图中的正视图也叫主视图，侧视图也叫左视图)
准 解 题
明确三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.
空间几何体的表面积与体积
[题点·考法·全练]
1.(2016·全国卷Ⅱ)
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
2．(2017·云南11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为×3＝3.
3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.＋1 B.＋3
C.＋1 D.＋3
解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
4．若正三棱锥ABCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥ABCD的高为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设三棱锥ABCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝BC＝，△BCD的面积为×12＝.由VABCD＝VBACD得S△BCD·h＝S△ACD·AB，即××h＝××2×，解得h＝，即三棱锥ABCD的高h＝.
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 B．60＋12
C．56＋12 D．30＋6
解析：选D 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，还原该三棱锥PBCD，易得BD＝PB＝，PD＝2，∴S△PBD＝×2×＝6，
又易得S△BCD＝×4×5＝10，S△BCP＝×BC×PC＝10，S△PCD＝×CD×CC1＝10，∴该三棱锥的表面积是30＋6.
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式．
2.看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图．
3.看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决．
准 解 题
1.活用求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．
2.活用求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体.
多面体与球的切接问题
[题点·考法·全练]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B.
C. D.
解析：选B 设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－2＝，所以圆柱的体积V＝π×1＝.
2．(2017·贵阳检测)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C 依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为＝3，因此三棱锥PABC的高的最大值为5＋3＝8.
3．半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．
解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有16＝2a2＋h2≥2ah，即4ah≤16，该正四棱柱的侧面积S＝4ah≤16，当且仅当h＝a＝2时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－16＝16(π－)．
答案：16(π－)
[准解·快解·悟通]
快审题
看到多面体与球的切接问题，想到是内切还是外接，想到球心位置和半径的大小．
准 解 题
掌握“切”“接”问题的处理方法
(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面．
(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
一、选择题
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．
2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
A．2 B．
C. D．3
解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x
，故该几何体的体积V＝××(1＋2)×2×x＝3，解得x＝3.
3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为×4×2＝，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.
4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为4π，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的距离为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B 依题意，设该球的半径为R，则有R3＝4π，由此解得R＝，因此球心O到平面α的距离d＝＝.
5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )
A．4π＋96
B．(2＋6)π＋96
C．(4＋4)π＋64
D．(4＋4)π＋96
解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.
6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
7．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为( )
A．1 B．
C. D．与M点的位置有关
解析：选B ∵＝，∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的，即为＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，∴VMPBC＝VPMBC＝××1＝.
8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选D 正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图
＝a2，所以的最大值为＝2.
9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
解析：选D 设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.
10．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为( )
A．5π B．π
C．10π D．34π
解析：选D 依题意，在三棱锥BACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，因此可将三棱锥BACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥BACD的外接球的表面积为4πR2＝34π.
11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得＝，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3
)(01 000的最小偶数n，那么在◇和▭
两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1 000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2.
4．(2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；
第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，
故输出N的值为2.
[准解·快解·悟通]
快 审 题
1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．
2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断．
3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．
掌握程序框图2类常考问题的解题技巧
准 解 题
(1)求解程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i＞n？”或“i＜n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可.
推理与证明
[题点·考法·全练]
1．(2017·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为( )
A．42 B．65
C．143 D．169
解析：选B 根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：
凸多边形
四
五
六
七
八
对角线条数
2
2＋3
2＋3＋4
2＋3＋4＋5
2＋3＋4＋5＋6
所以凸n边形有2＋3＋4＋…＋(n－2)＝条对角线，所以凸十三边形的对角线条数为＝65.
2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是r，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，
所以r＝.
3．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
答案：乙
[准解·快解·悟通]
快审题
看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．
准 解 题
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；
(3)检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2
(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
2．(2017·石家庄质检)在复平面内，复数＋i4对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为＋i4＝＋1＝＋1＝－i，所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限．
3．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；
(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．
4．(2017·成都一诊)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为( )
A. B．－1或1
C．1 D．－1
解析：选B 当x≤0时，由－x2＋1＝0，得x＝－1；当x>0时，第一次对y赋值为3x＋2，第二次对y赋值为－x2＋1，最后y＝－x2＋1，于是由－x2＋1＝0，得x＝1，综上知输入的x值为－1或1.
5．(2017·全国卷Ⅱ)
甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
6．(2017·石家庄一模)若z是复数，z＝，则z·＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D 因为z＝＝＝－－i，所以＝－＋i，
所以z·＝＝.
7．(2018届高三·兰州诊断考试)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6,8,0，则输出的i＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 执行程序框图，可得a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不满足a>b，不满足a＝b，b＝8－6＝2；i＝2，满足a>b，a＝6－2＝4；i＝3，满足a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不满足a>b，满足a＝b，故输出的a＝2，i＝4.
8．(2018届高三·湖南十校联考)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为－20，则判断框内应填入( )
A．i>3? B．i<4?
C．i>4? D．i<5?
解析：选D 由程序框图可得，第一次循环，S＝10－2＝8，i＝2；第二次循环，S＝8－4＝4，i＝3；第三次循环，S＝4－8＝－4，i＝4；第四次循环，S＝－4－16＝－20，i＝5，结束循环，故条件框内应填写“i<5？”．
9．给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z＋z＝0，则z1＝z2＝0.
④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z＋z＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.
10．(2017·福州质检)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )
A．4,7 B．4,56
C．3,7 D．3,56
解析：选C 执行程序，k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；k＝2，m＝42，n＝28，m，n均为偶数；k＝3，m＝21，n＝14，因为m不是偶数，所以执行否．又m≠n，d＝|21－14|＝7，m＝14，n＝7，m≠n；d＝|14－7|＝7，m＝7，n＝7，因为m＝n，所以结束循环，输出k＝3，m＝7.
11．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：选D 当输入x＝7时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x成立，故a＝1，输出a的值为1.
当输入x＝9时，b＝2，因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.
12．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(8,2)为( )
…
A. B.
C. D.
解析：选C 由数阵知A(3,2)＝，A(4,2)＝，A(5,2)＝，…，则A(8,2)＝＝.
二、填空题
13．(2017·福建普通高中质量检查)已知复数z＝，则|z|＝________.
解析：法一：因为z＝＝＝＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝.
法二：|z|＝＝＝＝.
答案：
14．(2017·长春质检)将1,2,3,4，…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行自左向右第10个数为________．
解析：由三角形数组可推断出，第n行共有2n－1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，自左向右第10个数是91.
答案：91
15．在平面几何中：在△ABC中，∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角ACDB 且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．
解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：＝.
答案：＝
16．(2016·山东高考)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
答案：n(n＋1)
送分专题(七) 统计与统计案例
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2017
卷Ⅲ
折线图的识别与应用·T3
统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置.
2016
卷Ⅲ
统计图表的应用·T4
2015
卷Ⅱ
条形图、两变量间的相关性·T3
抽样方法
[题点·考法·全练]
1．(2017·南昌一模)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n＝( )
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
解析：选D 根据分层抽样，得×81＝30，解得n＝1 040.
2．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A．13 B．17
C．19 D．21
解析：选C 从56名学生中抽取4人，用系统抽样方法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其他段抽取的号码分别为：19,33,47.
3．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300，得k≤，
因此A营区被抽中的人数是25.
令300<3＋12(k－1)≤495，得6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．
11．给出下列四个命题：
①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③若一组数据a,0,1,2,3的平均数为1，则其标准差为2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为＝＋x，其中＝2，＝1，＝3，则＝1.
其中真命题有( )
A．①②④ B．②④
C．②③④ D．③④
解析：选B 在①
中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样本的平均数为1，所以a＋0＋1＋2＋3＝5，解得a＝－1，故样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为，故③是假命题；在④中，回归直线方程为＝x＋2，又回归直线过点(，)，把(1,3)代入回归直线方程＝x＋2，得＝1，故④是真命题．
12．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生为甲组，成绩在75分以下(不包括75分)的学生为乙组．
已知在这30名学生中，甲组学生中有男生9人，乙组学生中有女生12人，则认为“成绩分在甲组或乙组与性别有关”的把握有( )
A．90% B．95%
C．99% D．99.9%
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解析：选B 根据茎叶图的知识作出2×2列联表为
甲组
乙组
总计
男生
9
6
15
女生
3
12
15
总计
12
18
30
由列联表中的数据代入公式得K2的观测值k＝＝5，因为5>3.841，故有95%的把握认为“成绩分在甲组或乙组与性别有关”．
二、填空题
13．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．
解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为14与16，故中位数为＝15.
答案：15
14．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．
解析：由题意可得即解得z＝12，或z＝－4(舍去)，故y＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为＝.故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.
答案：2
15．(2017·惠州三调)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/分钟
62
68
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋，则的值为________．
解析：因为＝＝30，＝＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，则由＝0.67x＋可得75＝30×0.67＋，求得＝54.9.
答案：54.9
16．(2017·合肥质检)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．
解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0,4,11,9,16，其平均数为8，根据方差公式可得s2＝[(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)2]＝30.8.
答案：30.8
送分专题(八) 排列与组合、二项式定理
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
2017
卷Ⅱ
计数原理、排列组合的应用·T6
1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型．
2.二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上.
卷Ⅲ
二项式定理、二项展开式中特定项的系数·T4
2016
卷Ⅰ
二项式定理、特定项的系数·T14
卷Ⅱ
计数原理、组合的应用·T5
2015
卷Ⅰ
二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10
卷Ⅱ
二项式定理、二项展开式的系数和·T15
排列、组合的应用
[题点·考法·全练]
1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
解析：选B 由题意可知E→F有C种走法，F→G有C种走法，由分步乘法计数原理知，共C·C＝18种走法．
2．一个五位自然数a1a2a3a4a5，ai∈，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1>a2>a3，a3Tn
B．SnTn
D．Sn＝Tn
解析：选C 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n＝Sn，令x＝0，得a0＝(－1)n，所以Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝2n－(－1)n，所以当n为偶数时，Tn＝Sn－1Sn.
二、填空题
13．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．
解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A＝72种涂色法；若1,3同色，有CCA＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．
答案：96
14．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
15．(2017·东北四市模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)
解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C种选法，2张票分给甲、乙，共有A种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有CAA＝48种分法．
答案：48
16．计算C＋2C＋3C＋…＋nC可采用以下方法：
构造等式：C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n，两边对x求导得C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1＝n(1＋x)n－1，在上式中令x＝1得C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1，类比上述计算方法计算C＋22C＋32C＋…＋n2C＝______________.
解析：由题意得，构造等式：C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1＝n(1＋x)n－1，两边同乘以x，得Cx＋2Cx2＋3Cx3＋…＋nCxn＝n·x·(1＋x)n－1，再两边对x求导，得到C＋22Cx＋32Cx2＋…＋n2Cxn－1＝n(1＋x)n－1＋n(n－1)x·(1＋x)n－2，在上式中，令x＝1，得C＋22C＋32C＋…＋n2C＝n(n＋1)2n－2.
答案：n(n＋1)2n－2