2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间坐标系与空间向量课件 38页

第 6 讲 空间坐标系与空间向量 课标要求 1. 通过具体情境， 感受建立空间直角坐标系的必要性，了 解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置 . 2. 通过表示特殊长方体 ( 所有棱分别与坐标轴平行 ) 顶点 的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式 . 3. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 . 4. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 . 5. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 . 6. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直 . 7. 理解直线的方向向量与平面的法向量 . 8. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 考情风向标 能较易建立空 间直角坐标系 的，尽量建立 空间直角坐标 系；要注意向 量运算与基本 性质相结合的 论述，这是今 后的方向，可 以“形到 形”，可以 “ 数到形”， 注意数形结合 1. 空间向量的概念 在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作 a 2. 空间向量的运算 (3) 数乘向量： λ a ( λ ∈ R ) 仍是一个向量，且 λ a 与 a 共线， | λ a | ＝ | λ || a |. (4) 数量积： a·b ＝ | a || b |cos〈 a ， b 〉 ， a·b 是一个实数 . 3. 空间向量的运算律 (1) 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； a·b ＝ b·a . (2) 结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) ； ( λ a )· b ＝ λ ( a·b )( λ ∈ R )[ 注 意： ( a·b ) c ＝ a ( b·c ) 一般不成立 ]. (3) 分配律： λ ( a ＋ b ) ＝ λ a ＋ λ b ( λ ∈ R ) ； a· ( b ＋ c ) ＝ a·b ＋ a·c . 4. 空间向量的坐标运算 叫做点 P 的坐标 . (2) 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，那么 a±b ＝ ( x 1 ± x 2 ， y 1 ± y 2 ， z 1 ± z 2 ) ； λ a ＝ ____________________ ； a·b ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2 ； (3) 设 M 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， M 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， ( λx 1 ， λy 1 ， λz 1 ) (4) 对于非零向量 a 与 b ，设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，那 么有 a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ⇔ x 1 ＝ λx 2 ， y 1 ＝ λy 2 ， z 1 ＝ λz 2 ； a ⊥ b ⇔ a·b ＝ 0⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2 ＝ 0. 1. 已知 a ＝ ( λ ＋ 1,0,2) ， b ＝ (6,2 μ － 1,2 λ ) ，若 a ∥ b ，则 λ 与 μ 的值可以是 ( ) A A. a ＋ b － c C. a － b － c B. c － a － b D. b － a ＋ c 图 D89 B A 图 D90 4.(2018 年江苏启东中学期中 ) 已知向量 a ＝ (2 ，－ 1,2) ， b ＝ ( － 1,3 ，－ 3) ， c ＝ (13,6 ， λ ) ，若向量 a ， b ， c 共面，则 λ ＝ _ ___. 3 解析： ∵ a ＝ (2 ，－ 1,2) ， b ＝ ( － 1,3 ，－ 3) ， c ＝ (13,6 ， λ ) ， 且 a ， b ， c 共面， ∴ 存在实数 x ， y 使得 c ＝ x a ＋ y b ， ∴ (13,6 ， λ ) ＝ (2 x － y ，－ x ＋ 3 y, 2 x － 3 y ) ， 考点 1 空间向量的线性运算 例 1 ： (1) 如图 8-6-1 ，在平行六面体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，设 中点，试用 a ， b ， c 表示以下各向量： 图 8-6-1 图 8-6-2 图 8-6-3 【 规律方法 】 (1) 选定空间不共 面的三个向量作基向量，这 是用向量解决立体几何问题的基本要求 . 用已知基向量表示指 定向量时，应结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向 量 和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法 则或平行四边形法则进行运算 . (2) 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向 末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边 形法则 . 考点 2 空间向量的数量积运算 答案： B (2) 如图 8-6-4 ，直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 ，底面 △ ABC 中， CA ＝ CB ＝ 1 ， ∠ BCA ＝ 90° ，棱 AA 1 ＝ 2 ， M ， N 分别是 A 1 B 1 ， A 1 A 的中点 . ③ 求证： A 1 B ⊥ C 1 M . 图 8-6-4 ① 解： 如图 D91 ，建立空间直角坐标系 . 图 D91 【 规律方法 】 利用数量积解决问题的两条途径： 一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算； 二是利用坐标运算 . 可解决有关垂直、夹角、长度问题 . 考点 3 异面直线所成的角 例 3 ： (20 15 年新课标 Ⅰ ) 如图 8-6-5 ， 四边形 ABCD 为菱形， ∠ ABC ＝ 120° ， E ， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE ⊥ 平面 ABCD ， DF ⊥ 平面 ABCD ， BE ＝ 2 DF ， AE ⊥ EC . (1) 证明：平面 AEC ⊥ 平面 AFC ； (2) 求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . 图 8-6-5 (1) 证明： 如图 8-6-6 ，连接 BD ，设 BD ∩ AC ＝ G ，连接 EG ， FG ， EF ，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB ＝ 1 ，由 ∠ ABC ＝ 120° ， 图 8-6-6 由 BE ⊥ 平面 ABCD ， AB ＝ BC 可知， AE ＝ EC . ∴ EG 2 ＋ FG 2 ＝ EF 2 .∴ EG ⊥ FG . ∵ AC ∩ FG ＝ G ， AC ， FG ⊂ 平面 AFC ， ∴ EG ⊥ 平面 AFC . ∵ EG ⊂ 平面 AEC ， ∴ 平面 AEC ⊥ 平面 AFC . 【 规律方法 】 (1) 求几何体中两 个向量的夹角可以把其中一 个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中 的角的大小 . b 〉 的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出 〈 a ， b 〉 的余弦值，进而求 〈 a ， b 〉 的大小 . 在求 a · b 时注意结 合空间图形，把 a ， b 用基向量表示出来，进而化简得出 a · b 的 值 . 【 跟踪训练 】 解析： 以 C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴， CC 1 为 z 轴， 建立如图 D92 所示的空间直角坐标系， 图 D92 答案： C C 易错、易混、易漏 ⊙ 向量夹角不明致误 例题： 如图 8-6-8 ，在 120° 的二面角 α - l - β 中， A ∈ l ， B ∈ l ， AC ⊂ α ， BD ⊂ β ，且 AC ⊥ AB ， BD ⊥ AB ，垂足分别为 A ， B . 已知 AC ＝ AB ＝ BD ＝ 6 ，试求线段 CD 的长 . 图 8-6-8 【 失误与防范 】 (1) 求解时，易混淆 二面角的平面角与向量 此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正 确地转化为向量夹角 . (2) 对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符 号等细节，避免出错 . 1. 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向 量应用的基础 . 2. 利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、 共面问题，利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题 . 3. 利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化 为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算 或证明去解决问题 . 其中合理选取基底是优化运算的关键 .