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- 2021-05-07 发布
湖南省湘东七校2019年下期高三联考
文科数学试题
总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2019年12月8日
由株洲二中·浏阳一中·攸县一中·株洲八中·株洲四中·九方中学·醴陵一中联合命题
姓名 考号
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、集合,，则（ ）
A. B. C. D.
2、复数满足，则( )
A. 2 B. C.1 D.
3、已知条件，条件，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
4、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为（ ）
A.2 B.15 C.32 D.46
5、函数（）在处取得最大值，则( )
A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数
6、已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
7、在中，，点满足，则( )
A. B. C. 4 D.8
8、已知在处取得极值，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9、,则（ ）
A. B. C. D.
10、函数的图象大致为( )
11、过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若，则的离心率为( )
A. B.2 C. D.5
12、已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13、已知与之间的一组数据如下表所示：
当变化时，回归直线必经过定点 ．
14、若满足约束条件，则的最大值等于 ．
15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为 ．
16、如图在中，，为边上一点．若，则的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分12分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：
男性观众 女性观众
（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？
喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
女性观众
总计
60
（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．
18、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且平面，是中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求三棱锥的高．
19、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）若，设数列的前n项和为Tn，求T2n.
20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.
（Ⅰ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（Ⅱ）若圆的半径为2，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
21、（本小题满分12分）已知函数，．
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）写出的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线（）分别与和交于,两点，求．
23、
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设关于的方程（）有实数根，求实数的值．
湖南省湘东七校2019年下期高三联考
文科数学试题答案及评分参考
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B
7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D
12.解析:因为函数，所以方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.由图像知，若，则直线与曲线必有交点，则.设直线与曲线相切时，切点为，由，得解得，则，所以切线方程为得.由图像知实数的取值范围为，选D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13、 14、2 15、 16、
15.解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为，则
解得，半径为，所以表面积为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：
喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
3分
假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关，
则的观测值， 5分
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关．
6分
（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，
不喜欢节目A的人数为． 7分
被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为；不喜欢节目A的1名记为．
则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，共有10种． 9分
其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有，共4种．…… 10分
所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：．…… 12分
18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为点是中点，
所以且． 1分
又因为且，
所以且， 2分
所以四边形为平行四边形，
所以， 3分
因为平面，平面，
所以． 4分
所以． 5分
（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，
因为，
由（Ⅰ）知， 6分
又因为，所以，
所以 7分
所以为正三角形， 8分
所以，且． 9分
因为平面，，
所以平面． 10分
因为平面，
所以， 11分
又因为，所以平面．
所以三棱锥的高为． 12分
19、本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）证明：因为当时，，
所以． 1分
所以, 2分
因为所以，所以， 3分
所以． 4分
所以是以为首项，以1为公差的等差数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以. 8分
9分
∴
12分
20、解：（Ⅰ）因为椭圆的方程为，所以，. ...............1分
因为轴，所以，而直线与圆相切，
根据对称性，可取， ...............2分
则直线的方程为，即. ......3分
由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. ...............5分
（Ⅱ）易知，圆的方程为.
①当轴时，，所以，
此时得直线被圆截得的弦长为. ...............7分
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
，
首先由，得，
即，所以（*）. ..........9分
联立，消去，得，在时
代入（*）式，得. ……………10分
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.
综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ……………12分
21、解：(Ⅰ)的定义域为， ...............1分
若则在上单调递增， ...............2分
若则由得，当时，当时，，
在上单调递增，在单调递减.
综上：当时，在上单调递增，
当时， 在上单调递增，在单调递减. ...............5分
(Ⅱ),
令,
,令,...............7分
. ..............8分
(2),
以下论证同（1）一样，所以不符合题意 ................10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是 ...............12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、选修；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，
即， 2分
将代入，得， 4分
所以的极坐标方程为． 5分
（Ⅱ）将代入得，
所以的方程为． 7分
的极坐标方程为，所以．
又，所以． 10分
23、选修：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：（Ⅰ）由得，
或 2分
解得．依题意． 5分
（Ⅱ）因为
当且仅当时取等号， 7分
因为关于的方程（）有实数根，
所以． 8分
另一方面，，所以， 9分
所以或． 10分