广东省湛江市2020届高三普通高考测试（一）数学（文）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 湛江市2020年普通高考测试（一）‎ 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解二次不等式，由集合交运算即可容易求得结果.‎ ‎【详解】由，解得或，∴或．‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式的求解，集合的交运算，属综合基础题.‎ ‎2.已知是复数的共轭复数，当（是虚数单位）时，（ ）．‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的四则运算，求得，求其共轭，即可求得结果.‎ - 24 -‎ ‎【详解】∵，∴，∴，．‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.‎ ‎3.已知，，，则，，的大小关系是（ ）．‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数运算，指数运算，即可容易判断.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。‎ ‎4.在中国园林建筑中，花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式，既具备实用功能，又带有装饰效果，体现了人们对美好生活的憧憬．苏州园林作为中国园林建筑的代表，在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形式，下图就是其中之一．该花窗外框是边长为的正方形，正中间有一个半径为的圆，如果窗框的宽度忽略不计，将一个小球（半径足够小）随机投在花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为（ ）．‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得正方形面积和圆的面积，以及面积之比，即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知正方形的面积，花窗正中间圆的面积，‎ 所以将一个小球随机投向花窗，小球恰好从圆中穿过的概率，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求解，属基础题.‎ ‎5.已知是等差数列的前项和．若，则的值为（ ）．‎ A. 6 B. 15 C. 34 D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得，结合基本量的计算，即可求得结果.‎ ‎【详解】∵，∴．∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和的性质，等差数列的基本量求解，属综合基础题.‎ ‎6.已知函数，若在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 要满足题意，只需，在对应区间单调递增，以及分割点处的函数值大小关系，即可求得结果.‎ ‎【详解】∵当时，，当时，，‎ ‎∴当时，在上为增函数，‎ ‎∴.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查由分段函数的单调性求参数值范围，涉及对数函数和指数函数的单调性，属综合基础题.‎ ‎7.已知，，则向量在方向上的投影为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.‎ ‎【详解】∵，，∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴向量在方向上的投影为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.‎ ‎8.已知直线，平面，则是的 （ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 24 -‎ 因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是必要但不充分条件,选B.‎ ‎9.函数为奇函数，且在上为减函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 求得函数的对称性，结合函数值，利用函数单调性即可求得不等式.‎ ‎【详解】∵函数为奇函数，且在上为减函数，‎ ‎∴函数的图象关于点对称，且在上为减函数．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴由，可得．‎ 又∵函数在上为减函数，‎ ‎∴．∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数对称性的求解，属综合中档题.‎ ‎10.在三棱柱中，平面．若所有的棱长都是2，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果.‎ ‎【详解】如图，连接，∵//，‎ ‎∴就是异面直线与所成的角．‎ 在中，,,‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴异面直线与所成的角的正弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题.‎ ‎11.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.‎ ‎【详解】连接，，设，则由已知可得．‎ ‎∵，为双曲线上的点，‎ ‎∴，．‎ ‎∵为的中点，且，‎ ‎∴．∴．∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎∵在直角中，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.‎ ‎12.已知，为函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标，将的图象向左平移个单位得到的图象，，，为两个函数图象的交点，则面积的最小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据周期和函数经过的一点即可求得函数解析式，由函数图像变换求得，再根据题意，即可求得三角形的面积最值.‎ ‎【详解】∵，∴．‎ 将代入，得．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎∵，‎ 由，得，‎ ‎∴．∵相邻两个交点的横坐标之差为，‎ 将代入，得到交点的纵坐标为，‎ ‎∴面积的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦函数性质求解函数解析式，以及由函数图像变换求变换后函数的解析式，属综合性困难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.一组样本数据10，23，12，5，9，，21，，22的平均数为16，中位数为21，则________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得，则问题得解.‎ ‎【详解】∵数据的平均数为16，‎ ‎∴．‎ - 24 -‎ ‎∴．‎ ‎∵，且数据中位数为21，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.‎ ‎14.已知实数，满足，则实数的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示三角形区域．‎ ‎∵可化为，‎ ‎∴当直线在轴上的截距最小时，实数取得最大值．‎ 在图中作出直线，并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，‎ 且在轴上的截距最小．‎ 由图可知，当直线过点时，截距最小．‎ 由，求得，‎ 代入到中，解得，即．‎ 故答案为：.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，属基础题.‎ ‎15.已知为数列的前项和，且，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用与之间的关系，即可求得是等比数列，则问题得解.‎ ‎【详解】∵，∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用的关系求通项公式，涉及等比数列通项公式的基本量的求解，属综合基础题.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设出直线的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.‎ - 24 -‎ ‎【详解】由已知，不妨设，，，．‎ 若直线斜率不存在，，与已知矛盾；‎ 则直线斜率存在，设，‎ 与抛物线联立，得，‎ 则，．‎ 由抛物线的定义，焦点弦长 ‎．‎ ‎∴，∴点到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.如图，在中，是边上的高，为边上一点，与交于点，，，．‎ ‎（1）求的正弦值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）3.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得，利用余弦定理即可求得，再利用正弦定理即可求得结果；‎ ‎（2）根据几何关系，以及（1）中所求，结合三角形面积公式，即可求得结果.‎ 详解】（1）∵，，，‎ ‎∴，∴．‎ 又∵，‎ ‎∴在中，由余弦定理，可得，‎ 解得，或（舍）‎ 再由正弦定理，得，‎ 得． ‎ ‎（2）如图过点作，垂足为，则//．‎ ‎∵在直角中，，，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 由，得．‎ 由（1）知，．‎ - 24 -‎ ‎∴． ‎ ‎∴的面积．‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.‎ ‎18.如图，在三棱柱中，侧面底面，为的中点，．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）若，，，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，与交于点，连接，只需证明//，即可证明线面平行；‎ ‎（2）根据几何关系，推导出所求四棱锥的体积与整个棱柱体积之间的关系，再由体积公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）连接，与交于点，连接，‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴//，且．‎ ‎∴．‎ - 24 -‎ 又，‎ ‎∴在中，//．‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴//平面． ‎ ‎（2）解：∵侧面底面，，，‎ ‎∴三棱柱的高．‎ ‎∵三棱锥三棱柱，‎ ‎∴四棱锥三棱柱． ‎ ‎∵在侧面中，，‎ ‎∴梯形平行四边形．‎ ‎∴四棱锥四棱锥三棱柱 ‎ ‎∴四棱锥．‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，涉及面面垂直推证线面垂直，以及棱锥棱柱体积的求解，属综合中档题.‎ ‎19.我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．‎ ‎ ‎ 为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：‎ - 24 -‎ 年龄区间 有意愿数 ‎80‎ ‎81‎ ‎87‎ ‎86‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎83‎ ‎70‎ ‎66‎ ‎（1）设每个年龄区间的中间值为，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数（结果保留两位小数）；‎ ‎（2）从，，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．‎ ‎（参考数据和公式：，，，，，）‎ ‎【答案】（1）．-0.63（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，结合参考数据和公式，代值计算即可求得结果；‎ - 24 -‎ ‎（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可求得：，，，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴回归直线方程为．‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意可知，在，，年龄段中，‎ 超过半数的夫要有生育二孩意愿，在，年龄段中，‎ 超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．‎ 设从，，年龄段中选出的夫妻分别为，，，‎ 从，年龄段中选出的夫妻分别为，． ‎ 则从中选出2对夫妻的所有可能结果为，，，，‎ ‎，，，，，，共10种情况．‎ 其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有，，，，‎ - 24 -‎ ‎，，共6种． ‎ ‎∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.‎ ‎20.已知，是椭圆的左右焦点，椭圆与轴正半轴交于点，直线的斜率为，且到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为椭圆上任意一点，过，分别作直线，，且与相交于轴上方一点，当时，求，两点间距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出的方程，根据其斜率以及点到直线的距离，即可列出方程，求得结果；‎ ‎（2）根据题意，得到，从而求得点的轨迹方程，将问题转化为求一点到圆上任意一点距离的最大值，则问题得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，可知，，．‎ ‎∴①．‎ ‎∵直线的方程为，即．‎ ‎∴由题意有②．‎ 又③．‎ 由①②③得，，．‎ - 24 -‎ ‎∴椭圆的方程为． ‎ ‎（2）由（1）可知：，．‎ 设，且．‎ 则当，都不垂直于轴时，，． ‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 化简，得． ‎ 当或垂直于轴时，得，也满足上式．‎ ‎∴点的轨迹方程为． ‎ ‎∴当与圆心距离最大时，，两点间距离取得最大值．‎ ‎∵‎ ‎．‎ 又∵，‎ ‎∴． ‎ ‎∴，两点间距离的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中动点的轨迹问题，涉及圆外一点到圆上一点距离的最值问题，属综合中档题.‎ ‎21.已知函数，，．‎ - 24 -‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）直线为函数图象的一条切线，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时没有极值；当时，有极大值，极大值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数的正负，即可判断函数的单调性，根据单调性求极值；‎ ‎（2）设出切点为，利用导数几何意义求得与之间的关系，将问题转化为在对应区间满足，即可求得参数范围.‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴函数的定义域为．‎ ‎∵，‎ ‎∴． ‎ ‎①当时，，在上为增函数，无极值； ‎ ‎②当时，由，得．‎ ‎∵时，，为增函数，‎ 时，，为减函数，‎ ‎∴在定义域上有极大值，极大值为． ‎ ‎（2）设直线与函数图象相切的切点为，则．‎ - 24 -‎ ‎∵，∴．∴．∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．∴．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵对任意的，都有成立，‎ ‎∴只需 ‎ ‎∵，‎ ‎∴由，得．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴时，，为减函数，‎ 时，，为增函数．‎ ‎∴，即．‎ ‎∵在上为减函数，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 即．‎ 设，易知在上为增函数．‎ 又∵，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，涉及导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题求参数，属压轴题.‎ ‎（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．‎ ‎【答案】（1），．（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数，则参数方程即可转化为普通方程；‎ ‎（2）设出的极坐标点，联立与曲线的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎，‎ 又∵，，‎ - 24 -‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎∵（为参数），消去，得．‎ ‎∴直线的普通方程为． ‎ ‎（2）设点，，．‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ 将代入，．‎ ‎∴，．‎ ‎∵直线的极坐标方程为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若对任意，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；‎ ‎（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）解：∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴或或，‎ 解得或或．‎ ‎∴不等式的解集为． ‎ ‎（2）证明：∵，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴成立．‎ ‎【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式的解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎