2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-7利用向量求空间角和距离课件新人教B版 17页

第七节　 利用向量求空间角和距离 内容索引 必备知识 · 自主学习 【教材 · 知识梳理】 1. 异面直线所成角的求法 设 a ， b 分别是两异面直线 l 1 ， l 2 的方向向量，则： 2. 直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e ， 平面 α 的法向量为 n ，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ ， 两向量 e 与 n 的夹角为 θ ，则有 sin φ =|cos θ|=________. 3. 二面角的求法 (1) 如图 ① ， AB ， CD 是二面角 α - l - β 两个半平面内与棱 l 垂直的直线， 则二面角的大小为 θ= ___________ . (2) 如图 ②③ ， n 1 ， n 2 分别是二面角 α - l - β 的两个半平面 α ， β 的法向量， 则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos< n 1 ， n 2 > 或 -cos< n 1 ， n 2 >. 【常用结论】 1. 利用空间向量如何求线段长度 利用 | | 2 = 可以求空间中有向线段的长度 . 2. 点到平面的距离 ①“ 作一证一求”法：作出点 P 到平面的垂线后求出垂线段的长； ② 转移法：如果平面 α 的斜线上两点 A ， B 到斜足 C 的距离 AC ， BC 的比为 m∶n ，则点 A ， B 到平面 α 的距离比也为 m∶n ； ③ 体积法：通常借助三棱锥，通过转换底面与顶点求点到平面的距离 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 设 a , b 是异面直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 则 l 1 与 l 2 所成的角就是 a , b 的夹角 .( 　　 ) (2) 设 a 是直线 l 的方向向量 , b 是平面 α 的法向量 , 则直线 l 与平面 α 成的角就是 a , b 的夹角 . ( 　　 ) (3) 设 a , b 是两个平面 α ,β 的法向量 , 则 α 与 β 所成的二面角的大小等于 a , b 的夹 角的大小 . ( 　　 ) (4) 利用 可以求空间中有向线段的长度 . ( 　　 ) (5) 直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120°, 则 l 和 α 所成角为 30°.( 　　 ) 提示 : (1)×. 因为 < a , b >∈(0,π), l 1 与 l 2 夹角 θ∈(0, ]. (2)×. 因为 < a , b > 的余弦的绝对值等于线面角的正弦值 . (3)×. 因为 < a , b > 与二面角的大小相等或互补 . (4)√. (5)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 混淆线线角与两向量夹角的范围致误 考点一、 T1,2 2 线面角与向量夹角混淆致误 考点二、典例 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P115 习题 3-2AT1 改编 ) 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,E 是 C 1 D 1 的中点 , 则 异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 建立如图空间直角坐标系 D -xyz, 设 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E , 则 =(-1,1,0), = , 设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos< >|= . 2.( 选修 2-1P114 练习 AT4 改编 ) 如图所示 , 在空间直角坐标系中 , 有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ________.  【解析】 由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a, 答案 : a 3.( 选修 2-1P108 练习 AT3 改编 ) 正三棱柱 ( 底面是正三角形的直棱柱 )ABC-A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2, 侧棱长为 2 , 则 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角为 ________.  【解析】 以 A 为原点 , 以 (AE⊥AB), 所在直线为坐标轴 ( 如图 ) 建立空间 直角坐标系 , 设 D 为 A 1 B 1 的中点 , 则 A(0,0,0),C 1 (1, ,2 ),D(1,0,2 ), 所以 =(1, ,2 ), =(1,0,2 ). ∠C 1 AD 为 AC 1 与平面 ABB 1 A 1 所成的角 cos∠C 1 AD= 又因为 ∠C 1 AD∈ , 所以 ∠C 1 AD= . 答案 :