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- 2021-05-06 发布
2018~2019学年第一学期期末高一校际联考
数学
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 圆台 D. 球
【答案】A
【解析】
依题意可知，该几何体是圆锥，故选.
2.若直线与直线垂直，则实数（ ）
A. B. -2 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据直线垂直计算得到答案.
【详解】直线与直线垂直，则.
故选：.
【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，属于简单题.
3.已知圆的圆心为，且圆过点，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆方程为，代入点解得答案.
【详解】设圆方程为，代入点解得.
故圆标准方程为.
故选：.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
4.函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定函数单调递增，计算，，得到答案.
【详解】函数单调递增，且，.
故函数在上有唯一零点.
故选：.
【点睛】本题考查了确定零点的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.
5.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次判断每个选项定义域和单调性得到答案.
【详解】A. 函数定义域为，函数单调递增，满足；
B. 函数定义域为，函数单调递减，排除；
C. 函数定义域为，排除；
D. 函数定义域为，排除；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
6.平行直线：与：之间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平行直线之间的距离公式计算得到答案.
【详解】平行直线：与：之间的距离等于.
故选：.
【点睛】本题考查了平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.
7.函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数经过排除，根据函数单调性排除得到答案.
【详解】是偶函数，当时，，排除.
当时，单调递减，排除.
故选：.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
8.已知函数的图像与的图像关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数，再依次验证每个选项得到答案.
【详解】的图像与的图像关于直线对称，则，
，正确；
，错误；，错误；
，错误；
故选：.
【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的关系，对数运算法则，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
还原几何体，再计算侧面积得到答案.
【详解】如图所示，几何体为圆柱，底面半径为，高为，则侧面积为.
故选：.
【点睛】本题考查了三视图和侧面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
10.设，，，则实数，，之间的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到，，，得到大小关系.
【详解】；；，即.
故选：.
【点睛】本题考查了利用函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11.已知函数，，则函数的图像与图像的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到答案.
【详解】如图所示：画出函数图像，根据函数图像知有个交点.
故选：.
【点睛】本题考查了函数的交点个数，画出函数图像是解题的关键.
12.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若，，则或异面，故错误；
B. 若，，则或相交，故错误；
C. 若，，，则 或相交，故错误；
D. 若，，，则，正确.
故选：.
【点睛】本题考查了直线，平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算得到，再计算得到答案.
【详解】，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.
14.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数得到，代入数据计算得到答案.
【详解】为定义在上的奇函数，则，.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．
【答案】
【解析】
棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的对角线长，即，
则该球的体积
16.已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为______.
【答案】
【解析】
分析】
根据圆和圆的位置关系得到，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.
【详解】圆：，圆：内切.
故圆心距，故.
点到直线：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆和圆，圆和直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数（且）的图像经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接代入数据计算得到答案.
（2）确定函数单调递增，根据函数的单调性得到答案.
【详解】（1）（且）的图像经过点，即，故，故.
（2）函数单调递增，，
故，故
【点睛】本题考查了函数的解析式，根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
18.已知直线经过直线与直线的交点.
（1）求过坐标原点与点直线的斜率；
（2）若直线与经过点，的直线平行，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）联立方程解得，再计算斜率得到答案.
（2）计算，再根据平行得到直线方程.
详解】（1）联立方程，解得，故，.
（2），故直线方程为：，即.
【点睛】本题考查了直线的方程和斜率，意在考查学生的计算能力.
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形证明，得到答案.
（2）计算得到，，再利用体积公式计算得到答案.
【详解】（1），为的中点，故，平面平面，
平面平面，故平面.
（2），，故，.
故.
【点睛】本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.如图，在直三棱柱中，，，分别是，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.
【答案】(1)详见解析(2) 详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用中位线定理可得∥，从而得证；
（2）先证明，从而有平面，进而可得平面
平面．
【详解】（1）因为分别是的中点，所以∥．
因为平面，平面，
所以∥平面．
（2）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以．
因为，且是的中点，
所以．
因为，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21.已知函数，.
（1）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围；
（2）若，设，，当时，试比较，的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的单调性得到答案.
（2）计算得到，再计算，，得到答案.
【详解】（1）函数的对称轴为，
函数在区间上不具有单调性，故，即.
（2），即，故.
当时，；.
故
【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
22.已知圆：被轴截得的弦长为，为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过直线：上一点作圆的切线，为切点，当切线长最短时，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）圆心为到轴的距离为，则，得到答案.
（2），故当最小时，最短，根据直线垂直计算得到答案.
【详解】（1）圆：，圆心为到轴的距离为，
故，故，故.
（2），故当最小时，最短，
当直线与直线垂直时，最小，此时直线，
联立方程，解得，即.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，切线长，转化为的最小值是解题的关键.