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- 2021-05-06 发布
天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试
文科数学试题
（满分：150分 时间120分钟）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，表示复数的共轭复数．若，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）
A．128.5米 B．132.5米 C．136.5米 D．110.5米
5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则，的值为（ ）
A．8，2 B．3，6 C．5，5 D．3，5
6．设，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
7．若，且，则的值为
A． B． C． D．
8．设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，已知，
，.给出如下结论：
①若，则；②若，则；
③若，，则，；④若，，则，.
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为4，其图象关于直线对称，给出下面四个结论：
①函数在区间上先增后减；②将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称；③点是函数图象的一个对称中心；④函数在上的最大值为1．其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为( ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间内有极大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某公司有职工2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米的共有30人，由此估计该公司所有职工中居住地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人．
14．中，角的对边分别是，已知.则__________．
15．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是__________．
16．已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.
三、解答题（共6题，共70分）
17．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式
（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，为的中点
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购，通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
20．已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．
21．已知函数是奇函数，的定义域为．当时，．(e为自然对数的底数)．
(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（为参数）.
（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。
天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试
文科数学试题答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C
二、填空题
13．200 14． 15． 16．
三、解答题
17．（1）；（2）
（1）当时，，所以，
当时，因为，所以，
两式作差得，即，因为，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）令，则，，
所以数列的公差，故，
所以，
所以.
18．(1)见解析；(2) ．
试题解析：（1）证：设，连接，则，
又平面，且平面平面.
（2）.
19．（1）（2）选B方案
（1）设质量在内的4个芒果分别为,,,,质量在内的2个芒果分别为,.从这6个芒果中选出3个的情况共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计20种,
其中恰有一个在内的情况有,,,,,,,,,,,,共计12种,
因此概率.
（2）方案A：元.
方案B：由题意得低于250克：元；
高于或等于250克元.
故总计元,由于,
故B方案获利更多,应选B方案.
20．（1）（2）
（1）当点的坐标为时，，所以．
由对称性，， 所以，得
将点代入椭圆方程 中，解得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去整理得：． 显然，
设，则
故 ．
因为，所以，
所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以
，
因为，所以，所以．综上，．
21．（1）；（2）.
设x>0时，结合函数的奇偶性得到：
（1） 当x>0时，有，
；
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为
（2）当时，
令，由题意，在上恒成立
令，则，当且仅当时取等号．
所以在上单调递增，
因此， 在上单调递增，．
所以．所求实数的取值范围为
22．（1）点 ；（2）
试题解析:（1）点的直角坐标为；
由得①
将，，代入①，
可得曲线的直角坐标方程为．
（2）直线 的直角坐标方程为，
设点的直角坐标为，则，
那么到直线的距离：
，
（当且仅当时取等号），
所以到直线的距离的最小值为．
23．(1) .(2) .
详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；
当时，解集为，，，
综上所述.
(2)当时，令
由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，.