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- 2021-05-06 发布
松江二中高二期中数学卷
一.填空题
1.行列式中，元素的代数余子式的值为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据行列式的展开A21[2×（﹣2）﹣1×1]＝5计算可得结果．
【详解】行列式中元素3的代数余子式的A21[2×（﹣2）﹣1×1]＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．
2.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得，把x＝﹣1，y＝2，能求出a的值．
【详解】∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，
∴，
把x＝﹣1，y＝2，代入得﹣a+6＝4，解得a＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．
3.若实数,满足，则目标函数的最大值为_____________.
【答案】10
【解析】
由线性约束条件，得可行域如图：
联立，得
由图象知：当函数的图象过点时，取得最大值为10
故答案为10
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.已知定点和曲线上的动点，则线段中点的轨迹方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
设出P，B的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用动点B在圆x2+y2＝1上运动，可得轨迹方程．
【详解】设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m＝2x﹣4，n＝2y
∵动点B在圆x2+y2＝1上运动，
∴m2+n2＝1，
∴（2x﹣4）2+（2y）2＝1，
∴（x﹣2）2+y2＝．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键．
5.执行下图的程序框图，如果输入，则输出的值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，．
考点：程序框图．
6.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离，由此能求出结果．
【详解】∵点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，
∴的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离，
∴的最小值d．
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用．
7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.
【答案】（1,2）
【解析】
【分析】
由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．
【详解】解：∵点P在直线=0上，
∴点P在直线4x+y﹣6＝0，
设P（a，﹣4a+6），
∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，
∴ ，
解得a＝1，
∴点P的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.若直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程是______．
【答案】，或
【解析】
【分析】
先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程．
【详解】直线过点，且与直线的夹角为，
且直线的斜率为，即直线的倾斜角为，
设直线的倾斜角为，则，或，
故直线的斜率不存在，或直线的斜率为，
故直线的方程为或，
即直线的方程为或，
故答案：或
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型．
9.直线与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则的取值范围是___．
【答案】或
【解析】
【分析】
判断直线恒过定点P（0，-1），计算PA、PB斜率，再利用数形结合求a的取值范围．
【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P（0，-1），如图所示，
计算，
且或，
则或，
即实数a的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
10.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
将向量转化为，代入，将所求向量的数量积转化为 ,表示在上的投影，由此可求得最小值.
【详解】 ，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，
此时，,故填2.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
11.直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为 ．
【答案】或.
【解析】
设直线与直线的倾斜角为，，因为，所以，均为锐角，由于直线、与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）时，，有，因为，解得；（2）时，，有，因为，解得.
考点：直线与直线的位置关系.
12.已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】
分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．
详解：由题意得直线的斜率为，即，解得．
当时，直线斜率为，
即，
∴．
∴
．
又满足上式，
∴．
∴数列前项和为．
点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解．
二.选择题
13.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，则可化为分段函数，利用反比例函数的图象可得结果.
【详解】由，可知，
，
利用反比例函数的图象以及函数的对称性可得方程表示的曲线是，故选C.
【点睛】本题主要考查分段函数的图象，以及函数图象对称性的应用，属于简单题.
14.已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．
【详解】 ＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，
故选D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
15.如图，∥，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即可得到结论．
【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则，
A（，），，此时P在线段AB上，
B（，），，此时P在直线AB的上方，
同理，D（，），，此时P在直线AB的上方，
因此ABD均不正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理的应用，考查了代入验证法，属于基础题．
16.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：
①不论为何值时，与都互相垂直；
②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；
③不论为何值时，与都关于直线对称；
④如果与交于点，则的最大值是1；
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.
【答案】C
【解析】
对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当
时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确；
对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确；
对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确；
对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确.
所有正确结论的个数是3.
故选C
三.解答题
17.已知向量，，
（1）当时，求的值；
（2）求的最大值与最小值．
【答案】（1）（2）最大值与最小值分别为与
【解析】
【分析】
（1）根据向量垂直坐标表示列式求解（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质求最值
详解】（1）
（2）
所以的最大值与最小值分别为与
【点睛】本题考查向量垂直坐标表示、向量数量积坐标表示、二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属综合中档题.
18.设直线与.
（1）若∥，求、之间的距离；
（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；
（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．
【详解】（1）若l1∥l2，则，
∴，∴m＝6，
∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0
∴l1，l2之间的距离d；
（2）由题意，，∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），
∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．
【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：
（Ⅰ）顶点的坐标；
（Ⅱ）直线的方程
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.
【详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：
，即：
又，解得：，
（Ⅱ）设点关于的对称点为
则，解得：
边所在的直线方程为：，即：
【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.
20.类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把
叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线.
（1）若，，，求；
（2）若，已知点和直线；
①求的一个法向量；
②求点到直线的距离.
【答案】（1）；（2）①法向量；②.
【解析】
【分析】
（1）利用定义求出
（2）①先求出l的方向向量为，由得法向量
②利用向量投影公式求解即可
【详解】（1）由已知，，，
则，且，
则
=
∴；
（2）①直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为；
设法向量为，由得，；
令a＝﹣7，则b＝5，；
②取直线l上一点B（0，2），则，所求为．
【点睛】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念．
21.已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；
（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.
【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个.
【解析】
【分析】
（1）确定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1与A2B2不平行；
（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，从而可得，进而可证明数列{Sn}是等差数列；
（3）求得，根据数列{kn}前8项依次递减，可得an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立，根据数列{bn}是递增数列，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b
＜0即可，关键b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域，即可得到结论．
【详解】（1）由题意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），
所以，
，
因为，所以A1B1与A2B2不平行．
（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，
则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2
由题意
所以[b1+（n﹣1）d2]}
，
所以，
所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是与n无关的常数，
所以数列{Sn}是等差数列
（3）因为An（an，0），Bn（0，bn），
所以
又数列{kn}前8项依次递减，
所以0，
对1≤n≤7（n∈Z）成立，
即an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．
又数列{bn}是递增数列，所以a＞0，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．
又b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如右图所示），易得a＝1或2，
当a＝1时，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；
当a＝2时，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2个解，所以数列{bn}共有9个．
【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义及线性规划知识，考查了分析问题解决问题的能力，综合性强．