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- 2021-05-06 发布
和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
1
2
4
5
销售额y（万元）
10
26
35
49
根据上表可得回归方程x的等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（ ）
A．54万元 B．55万元 C．56万元 D．57万元
5．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．已知函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，那么下列命题中假命题是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点
C．f（x）是周期函数
D．f（x）在[﹣π，0]上是增函数
9．已知函数f（x），g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．
10．设复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则|z|＝ ．
11．二项式的展开式中，常数项为 （用数字作答）
12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为 ．
13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是 若X表示摸出黑球的个数，则EX＝ ．
14．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2取得最小值为 时，a+b＝ ．
15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且•1，则tanA＝ ，• ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x．
（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f（C）＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝90°，AB⊥侧面BB1CC1．
（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．
18．（15分）已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值
（ III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
19．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，2a2＝a4﹣a3，数列{bn}满足bn＝1+2log2an．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，求k的取值范围．
20．已知函数．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的最大值．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，
又C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C＝{1，2，4}．
故选：B．
2．|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3，
∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件．
故选：A．
3．因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．
故选：C．
4．由题意，（1+2+4+5）＝3，（10+26+35+49）＝30．
∵回归方程x的等于9，
∴30＝9×3+a，
∴a＝3
∴y＝9x+3
当x＝6时，y＝9×6+3＝57万元
故选：D．
5．∵a，b＞1，c，
∴c＜a＜b．
故选：B．
6．根据题意，函数f（x），其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，
又由x＞0时，有ex＞e﹣x，即有ex﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D，
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C；
故选：B．
7．根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），
即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x，则p＝4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；
点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的性质，可得b＝1；
则c，则焦距为2c＝2
故选：A．
8．对于A，函数f（x）＝cosx﹣|sinx|，定义域为R，
且满足f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣|sin（﹣x）|＝cosx﹣|sinx|＝f（x），f（x）为定义域R上的偶函数，A正确；
对于B，x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，f（x）＝cosx﹣|sinx|＝cosx+sinxsin（x），
且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，B正确；
对于C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2π的周期函数，C正确；
对于D，x∈[﹣π，0]时，f（x）sin（x），且x∈[，]，∴f（x）在[﹣π，0]上先减后增，D错误．
故选：D．
9．∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，
∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，
∵y＝2a2﹣4a，a∈R，
∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，
∵函数f（x），
f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，
∴值域为[﹣2，6]
∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，
∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，
即﹣1≤a≤3，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．
10．由（1+i）z＝3﹣i，得z1﹣2i，
∴|z|；
故答案为：．
11．依题意，二项式的展开式的第k+1项为：Tk+1•，
由80解得，k＝6，
所以常数项为：112，
故答案为：112．
12．∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，
∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2＝BC2，∴A1C1⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面A1MB，
∵M是AA1的中点，∴3，
∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：
4．
故答案为：4．
13．恰有一个黑球的概率P．
由题意可得：X＝0，1，2．
P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）．
可得X的分布列：
X
0
1
2
P
∴EX12．
故答案为：．
14．因为a＞0，b＞0，
所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，
所以（a+4b）2≥16ab，
则（a+4b）28，
当且仅当即a＝1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b．
故答案为：8，
15．以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设A（0，b），B（﹣a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，
∴D（，），E（，），M（ ，），N（ ，），
∴（a，），（﹣a，），且 •1，
∴﹣a21①，
又AC＝3，∴a2+b2＝9②，
联立①②得，a2，
在△ABC中，由余弦定理得，cosA．
因为A为等腰三角形的顶角；且cosA，
∴sinA；
∴tanA；
sin；
∴cosB＝cos（）＝sin；
∴••3×2a×cosB＝﹣3．
故答案为：，．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分为14分）
解：（1）∵f（x）sin2x﹣cos2xsin2xsin（2x）﹣1，…4分
∴当2x2kπ，即x＝kπ（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分
此时自变量x的集合为：{x/x＝kπ，k∈Z}…7分
（2）∵f（C）＝0，
∴sin（2C）﹣1＝0，
又∵0＜C＜π，
∴2C，可得：C，…9分
∵sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝2a①，又c，
∴由余弦定理可得：（）2＝a2+b2﹣2abcos，可得：a2+b2﹣ab＝3②，…13分
∴联立①②解得：a＝1，b＝2…14分
17．如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）
（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
平面ABC的法向量，又，
设BC1与平面ABC所成角为θ
，则．
（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，
∵EA⊥EB1，
∴
∴y＝1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点．
（3）∵A（0，0，），则，
设平面AEB1的法向量m＝（x1，y1，z1），
则∴，
取m＝（1，1，），
∵，
∴BE⊥B1E，又BE⊥A1B1∴BE⊥平面A1B1E，
∴平面A1B1E的法向量，
∴cos＜m，，
∴二面角A﹣EB1﹣A1为45°．
18．（Ⅰ）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，
∴，解得a＝2，，，
∴椭圆C的方程为．…（2分）
证明：（Ⅱ）设D（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB
，（*）
设直线BD的方程为，
联立，
∴△＝﹣8b2+64＞0，解得﹣2b＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，
将①、②式代入*式整理得0，
∴kAD+kAB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．
解：（Ⅲ）|BD||x1﹣x2|，
设d为点A到直线BD：的距离，∴，
∴，
当且仅当b＝±2时取等号，
∵±2，∴当b＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．
19．（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，
a1＝2，2a2＝a4﹣a3，可得4q＝2q3﹣2q2，解得q＝2（﹣1舍去），
可得an＝2n；
bn＝1+2log2an＝1+2log22n＝1+2n；
（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•2n，
前n项和Sn＝3•2+5•4+7•8+…+（2n+1）•2n，
2Sn＝3•4+5•8+7•16+…+（2n+1）•2n+1，
两式相减可得﹣Sn＝6+2（4+8+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1
＝6+2•（2n+1）•2n+1，
化简可得Sn＝2+（2n﹣1）•2n+1；
（3）若λ＞0，且对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2成立，
即为2λ2﹣kλ+2的最大值，
由0，
可得{}递减，可得n＝1时，取得最大值，
可得2λ2﹣kλ+2，即为k＜2λ的最小值，
可得2λ22，当且仅当λ时取得最小值2，
则k＜2．
20．（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx（x＞0），这时的导数，
令f'（x）＝0，即，解得x＝1，令f'（x）＞0得到x＞1，令f'（x）＜0得到0＜x＜1，
故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；故函数f（x）在x
＝1时取到最小值，
故f（x）min＝f（1）＝1；
（2）当a＞0时，函数导数为，
若a＝1时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，
若a＞1时，，当x＞1或时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
即函数f（x）在区间，（1，+∞）上单调递减，在区间上单调递增．
若0＜a＜1时，，当或0＜x＜1时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单调递增．
综上，若a＝1时，函数f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间，
若a＞1时，函数f（x）的减区间为，（1，+∞），增区间为，
若0＜a＜1时，函数f（x）的减区间为（0，1），，增区间为．
（3）当a＝0时，设函数g（x）＝xf（x）＝x2﹣xlnx．
令g'（x）＝2x﹣lnx﹣1，，
当时，g''（x）≥0，g'（x）为增函数，，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增，
∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，
∴g（x）＝k（x+2）﹣2在上至少有两个不同的正根，，令，
求导得，，
令，
则，
所以G（x）在递增，，G（1）＝0，
当，G（x）＜0，
∴F'（x）＜0，当x∈[1，+∞），G（x）＞0，
∴F'（x）＞0，
所以F（x）在上递减，在[1，+∞）上递增，
∴，∴，
∴k的最大值为．