2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期中考试数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年湖南省永州市高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项正确.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.‎ ‎2．平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）‎ A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线的定义，对动点的轨迹进行判断，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 两个定点的距离为,‎ 当时，点的轨迹为双曲线的一支；‎ 当时，点的轨迹为射线；‎ 不存在的情况.‎ 综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题.‎ ‎3．双曲线的焦距是（ ）‎ A． B．4 C．8 D．与有关 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由双曲线的方程根据公式，求出的值，进而可求焦距.‎ 详解：由双曲线可得，‎ ‎，‎ 焦距，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎4．向量，下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】先由题中向量的坐标，得到，，，进而可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以，，，‎ 所以，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量垂直与向量共线的坐标表示，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.‎ ‎5．椭圆的一个焦点是，那么（ ）‎ A．5 B．25 C．-5 D．-25‎ ‎【答案】B ‎【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得，由此列方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，由于椭圆焦点为，故焦点在轴上，且.所以，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题.‎ ‎6．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，由此可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，‎ 由韦达定理得，由于点、均在抛物线上，则，得，‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线焦点弦所在直线的性质，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出边长，求得的坐标，利用向量夹角公式，求得异面直线所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 设，所以，所以.设异面直线与直线所成角为，则.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，属于基础题.‎ ‎8． 已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在正四面体中，点、分别是、的中点 ‎ ‎ 则= ‎ 因为是正四面体，所以 ‎ 即 所以= ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.‎ ‎9．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎10．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD； ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD；‎ 其中正确的命题的序号是( )‎ ‎ A． ①② B．②③ C． ②④ D． ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )‎ A．1 B．‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵双曲线的方程为 ‎∴双曲线的渐近线的方程为 ‎∵抛物线的准线方程是 ‎∴双曲线的渐近线与抛物线准线相交的，两点的纵坐标分别是 ‎∵双曲线的离心率为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，两点的纵坐标分别是 又∵的面积为，轴是的平分线 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出，两点的纵坐标，结合对称性列出三角形的面积也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨. ‎ ‎12．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离等于，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意求得的坐标，求得直线的方程，联立的方程求得点坐标，根据到直线的距离等于列方程，由此求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，所以，，所以直线：①，直线：②， ①-②并化简得.由于到直线的距离等于，直线方程为，所以，化简得，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若“，”是真命题，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的范围，求得的范围，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，，由于“，”是真命题，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据特称命题的真假性求参数，考查正切函数在给定区间的值域，考查存在性问题的求解，属于基础题.‎ ‎14．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为 ‎_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由椭圆的标准方程可得的值，由椭圆的几何性质可得的值，由椭圆的定义，得，在中利用余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，椭圆的标准方程，可得，则，‎ 则有,‎ 由椭圆的定义，可得，‎ 又由，则，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中涉及到椭圆的定义，三角形的余弦定理等知识点的综合应用，同时利用椭圆的定义求出的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15．平面四边形中，，，且，现将 沿对角线翻折成，当平面平面时，则直线与平面所成角的正切值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据面面垂直的性质定理作出直线与平面所成角，解直角三角形求得线面角的正切值.‎ ‎【详解】‎ 折叠前，由于，，且，根据等腰三角形的性质可知，设交点为，则，.‎ 折叠后，，而平面平面，由面面垂直的性质定理可知平面，，所以直线与平面所成角为，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面角的正切值的求法，考查面面垂直的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎16．过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于、两点，与准线交于点，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抛物线的定义和求得直线的斜率，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用弦长公式求得.‎ ‎【详解】‎ 焦点坐标为.画出图像如下图所示，作垂直准线交准线于，根据抛物线的定义可知，由于，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查直线斜率的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：关于的不等式的解集为，命题：函数是减函数.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据指数型函数单调性列不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎（2）由于“为真命题，为假命题”，所以和中一真一假.由此按“真假”和“假真”两种情况进行分类讨论，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于是减函数，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，命题为真命题时，.命题为真命题时，，所以.‎ 又由于为真，为假，所以和中一真一假.‎ 当“真假”，不存在.当“假真”时，.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据命题的真假性求参数的取值范围，考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查指数型函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.‎ ‎18．如图所示，在直三棱柱中，，，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）.‎ ‎【解析】（1）通过证明平面来证得.‎ ‎（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据直三棱柱的性质有平面，所以，由于，，所以平面，所以.‎ ‎（2）由（1）得两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示.所以，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为.设直线直线与平面所成角为，则.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用线面垂直证明显现垂直，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．直线与双曲线相交于不同的两点A,B.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由直线与双曲线，消去，利用判别式大于零得不等式，解出即可； （2）以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由直线与双曲线，‎ 得，‎ 所以，‎ 解得； （2）以线段为直径的圆经过坐标原点，设， 则，即，‎ ‎， 即， ， 整理得，符合条件， ∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．‎ ‎20．如图，在多面体中，四边形是菱形，，四边形是直角梯形，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面.‎ ‎（Ⅱ）若平面平面，为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）‎ ‎【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，，结合已知条件，得四边形为平行四边形，进而得为平行四边形，由线面平行的判定定理得CE∥平面ADF．‎ ‎（Ⅱ）取CD中点N，以A为原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连接，，如图所示，因为，四边形是直角梯形，‎ 得且，所以四边形为平行四边形，即且.‎ 又因为四边形是菱形，所以，进而，得为平行四边形，‎ 即有，又平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，在菱形中，，可得.因为平面平面，‎ 平面平面，平面，，所以平面.‎ 以为坐标原点，AN为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 故，，，，，，.‎ 设平面的一个法向量为，则有即 令可得.‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，则,‎ 即所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎21．已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且． ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，‎ 的面积分别为，，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示，从而求得p的值；（2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算△OAB的面积S1，同理求出△OPQ的面积S2，再求的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设直线：，与联立消得，.‎ 设，，则，.‎ 因为，所以 ‎，‎ 解得.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.‎ 原点到直线的距离，所以.‎ 因为直线过点且，所以.‎ 所以.‎ 即为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点为，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点，在椭圆上，其中是椭圆上一动点，点坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）作直线与轴垂直，交椭圆于，两点（，两点均不与点重合），直线，与轴分别交于点，，试求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)4‎ ‎【解析】（1）根据直线的斜率求得的关系式，结合在椭圆上列方程，求得的值，进而求得椭圆标准方程.‎ ‎（2）设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，即求得的表达式，对利用基本不等式，结合的坐标满足椭圆方程进行化简，由此求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由直线的斜率为可知直线的倾斜角为.‎ 在中，，于是，，‎ 椭圆：，将代入得，所以.‎ 所以，椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设点，，，‎ 于是，直线：，令，，‎ 所以，‎ 直线：，令，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 又，，‎ 代入上式并化简，‎ 即，‎ 当（即）时取得最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线方程，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎