2018届二轮复习第三讲平面向量教案 10页

第三讲　平面向量 ‎[考情分析]‎ 平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 向量垂直的应用·T13‎ Ⅱ卷 向量加减法的几何意义·T4‎ Ⅲ卷 向量垂直的应用·T13‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 平面向量垂直求参数·T13‎ Ⅱ卷 平面向量共线求参数·T13‎ Ⅲ卷 向量的夹角公式·T3‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 平面向量的坐标运算·T2‎ Ⅱ卷 平面向量数量积的坐标运算·T4‎ ‎[真题自检]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.‎ 答案：A ‎2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.‎ 答案：C ‎3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m ‎＝________.‎ 解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.‎ 答案：7‎ 平面向量的概念及线性运算 ‎[方法结论]‎ ‎1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．‎ ‎2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理 破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．‎ ‎[题组突破]‎ ‎1．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若＝λ，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：通解：设＝a，＝b，由题意得＝－＝＋－＝＋－＝2a－b.‎ 因为＝λ＝λa，设＝μ＝2μa－μb，又＝＋，所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa＋b，‎ 所以，所以λ＝.‎ 优解：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则＝＝，‎ 即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又＝λ，故λ＝.‎ 答案：C ‎2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝(1，)，＝(－，1)，＝(1,1)，∵＝λ＋μ＝(λ－μ，＋μ)，‎ ‎∴，解得，∴λ＋μ＝，故选D.‎ 法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝(λ－)＋(＋μ)，‎ 又＝＋，∴，解得，∴λ＋μ＝，故选D.‎ 答案：D ‎3．已知平面向量a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量b满足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，则b＝(　　)‎ A．(2,1) B．(1,2)‎ C．(3,0) D．(0,3)‎ 解析：通解：设b＝(x，y)，则a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c可得，‎ ‎－(2－x)－(1－y)＝0，即x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b可得，3x＝0，则x＝0，y＝3，选D.‎ 优解：因为a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐个验证选项可知，选D.‎ 答案：D ‎[误区警示]‎ 在运用向量共线定理时，向量a与b共线存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.‎ 平面向量的数量积 ‎[方法结论]‎ ‎1．平面向量的数量积的运算的两种形式 ‎(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；‎ ‎(2)利用坐标 计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．‎ ‎2．夹角公式 cos θ＝＝.‎ ‎3．模 ‎|a|＝＝.‎ ‎4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.‎ ‎[题组突破]‎ ‎1．(2017·洛阳模拟)已知向量a＝(1,0)，|b|＝，a与b的夹角为45°.若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 解析：依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.‎ 答案：D ‎2．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)‎ A．1 B. C. D．－ 解析：通解：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，所以＝＋，所以＝＝(＋)，则＝－＝－，所以·＝(－3)·(＋)＝(2－32)＝.‎ 优解：以O为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,1)，B(2,0)，C，所以＝＝，＝，故·＝×＝.‎ 答案：B ‎3．(2016·珠海摸底)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：通解：设a与b的夹角为θ，由已知可得a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即4a·b＝a2＋b2，因为|a|＝|b|，所以a·b＝a2，所以cos θ＝＝，θ＝60°，选C.‎ 优解：由|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|可构造边长为|a|＝|b|＝1的菱形，如图，则|a＋b|与|a－b|分别表示两条对角线的长，且|a＋b|＝，|a－b|＝1，故a与b的夹角为60°，选C.‎ 答案：C ‎4．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(0，－)，C(－3,0)，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是________．‎ 解析：通解：由||＝1得点P(x，y)的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝1，又＝(1,0)，＝(0，－)，＝(x，y)，故＋＋＝(1＋x，y－)，|＋＋|的几何意义是点M(－1，)与圆(x＋3)2＋y2＝1上的点之间的距离．||＝＝，由数形结合(图略)可知|＋＋|的最小值即为点M(－1，)到圆(x＋3)2＋y2＝1上的点的最短距离，故|＋＋|的最小值为－1.‎ 优解：动点P的轨迹为以C为圆心的单位圆，设P(cos θ－3，sin θ)(θ∈[0,2π))，‎ 则|＋＋|＝＝＝，‎ 其中tan φ＝，所以|＋＋|的最小值为＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎[误区警示]‎ ‎1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 ‎(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等．‎ ‎2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.‎ 平面向量与其他知识的交汇问题 平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．‎ 交汇点一　平面向量与三角、解三角形的交汇 ‎[典例1]　(2016·青岛二中模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(sin C，sin A)，且m∥n.‎ ‎(1)若cos A＝，b＋c＝6，求△ABC的面积；‎ ‎(2)求sin B的取值范围．‎ 解析：因为m∥n，所以sin2 A＝sin Bsin C，结合正弦定理可得a2＝bc.‎ ‎(1)因为cos A＝，所以＝，即＝，解得bc＝9.‎ 从而△ABC的面积S△ABC＝bcsin A＝×9×＝，故△ABC的面积为.‎ ‎(2)因为a2＝bc，所以cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时，取等号)．‎ 因为00)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在上的单调区间．‎ 解析：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝cos2 ωx－1＋sin ωx·cos ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx－ ‎＝sin－，‎ 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin－，当x∈时，2x＋∈，‎ 所以当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；‎ 当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．‎ 交汇点二　平面向量与“简单线性规划”相交汇 ‎[典例2]　已知x，y满足若向量＝(1,2)，＝(x，y)，则z＝·的最大值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D．2‎ 解析：原不等式组所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量＝(1,2)，＝(x，y)，所以z＝·＝x＋2y.当目标函数z＝x＋2y过点(0,1)时，z＝x＋2y取得最大值zmax＝0＋2×1＝2.故选D.‎ 答案：D ‎[类题通法]‎ 解决平面向量与“简单线性规划”相交汇题的常用方法是“转化法和数形结合法”，即先利用平面向量数量积的坐标表示，把平面向量问题转化为求线性目标函数问题；再借用图形，判断可行域；最后通过平移目标函数图象，求其最值．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎3．已知变量x，y满足约束条件若向量＝(x，－1)，＝(2，y)，则·的最小值等于(　　)‎ A．－ B．－2‎ C．－ D．2‎ 解析：约束条件所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量＝(x，－1)，＝(2，y)，所以z＝·＝2x－y.当z＝2x－y过点A(－1，)时，z＝2x－y取得最小值，且zmin＝2×(－1)－＝－.故选A.‎ 答案：A 交汇点三　平面向量与“充分必要条件”相交汇 ‎[典例3]　(2015·高考北京卷)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ.若a·b＝|a||b|，则cos θ＝1，因为θ∈[0，π]，所以θ＝0，所以a∥b，即“a·b＝|a||b|”⇒“a∥b”；若a∥b，则θ＝0或θ＝π，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”⇐/ “a∥b”，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.‎ 答案：A ‎[类题通法]‎ 平面向量与“充分必要条件”相交汇问题的破解方法：“以小推大法”，即准确理解充分条件、必要条件及充要条件的含义，利用平面向量的有关概念、公式、定理(有时要利用数形结合思想)等，判断小范围和大范围之间的关系．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎4．已知直线m，n的方向向量分别为a，b，则“m∥n”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：m∥n⇒a∥b；反之，当a∥b时，直线m，n可能重合，所以“m∥n”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.‎ 答案：A 交汇点四　平面向量与解析几何相交汇 ‎[典例4]　(2017·大庆质检)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：∵(＋)·＝(＋)·2＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，∴2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1，故选D.‎ 答案：D ‎[类题通法]‎ 破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法 快速破解．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎5．(2017·广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝2，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．‎ 解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵＝2，∴1－xA＝2(xB－1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝，弦AB的中点到抛物线准线的距离为＋1＝＋1＝.‎ 答案：