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- 2021-05-06 发布
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2018－2019学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中
数学试卷
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可求出集合，然后进行补集的运算即可．
【详解】由题意，集合，则，
所以根据集合的补集的运算，可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2.若向量与向量是共线向量，且，则（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与共线，可设，再根据，求得λ的值，即可得出向量的坐标．
【详解】由题意，根据与共线，所以存在实数，使；
又，∴，解得；
∴或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
sin（）结合诱导公式求解即可
【详解】，则sin（），
故选A．
【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题
4.已知函数是定义在上的奇函数，且，当时， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得，则函数是周期为8的周期函数，据此可得，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．
【详解】根据题意，函数满足，则有，
则函数是周期为8的周期函数，则，
又由函数为奇函数，则，
则，即；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可
【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键
6.可导函数在区间上的图象连续不断，则“存在满足”是“函数在区间上有最小值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据和函数在区间上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．
【详解】根据函数极值点的概念，可知满足，则不一定是函数的极值点，例如，其中，但不是函数的极值点，此时函数在上没有最小值.
又由函数，其中当时，函数取得最小值.
但时，不存在，
时，， 时，，
所以“存在满足”不成立.
所以“存在满足”是“函数在区间上有最小值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ）
A. 420 B. 840 C. 140 D. 70
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8，
三位数要求既有奇数也有偶数，
则若1个奇数，2个偶数，有个，
若2奇数，1偶数，有个，
由分类计数原理可得，共有个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8.设向量满足，，则的最大值等于（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．
【详解】由题意，向量满足，，
可设，
由，可得，
整理得，即，即圆心()，半径，
则的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.
9.设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线的方程为，联立方程组得，由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．
【详解】由题意，设直线的方程为，，
联立方程组，化简得，
∴，，则，
由中点公式，可得，，
又由 ，解得，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10.已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，得出在上是奇函数且为减函数，据此对进行分情况讨论，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，定义域为，
且满足，
所以函数为定义在上的奇函数，则有，
又由在单调递减，则在上也为减函数，
则在上为减函数，则，
当时，，即，
则恒有成立，
当时，，此时，不成立，
当时，，此时不能满足恒成立，
所以的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11.已知复数满足（是虚数单位），则_____；_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得，再由复数模的计算公式求．
【详解】由题意，根据复数的运算，化简得，
所以．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12.计算：_____；满足的实数的取值范围是_____．
【答案】 (1). (2). ．
【解析】
【分析】
利用对数的换底公式及对数的运算性质求；把化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．
【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得，
由，
当时，得，不合题意；当时，得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.
13.已知双曲线，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上除两顶点外的一点，直线与直线的斜率之积是，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线与直线的斜率之积是，求出直线与直线的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．
【详解】由题意，设是双曲线上一点，
则，得到，故，
又，
∴，得
∴，
其渐近线的方程为，即，即，
设双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的焦点到其渐近线的距离，解得，
又因为，所以，故双曲线的方程为，
故答案为：，.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．
14.二项式的展开式中系数最大的项为_____；已知，则_____．
【答案】 (1). (2). ．
【解析】
【分析】
由二项式的展开式中通项，列出不等式组，求得的值，即可得出最大的项．对于二项式，两边求导，再令，即可求解．
【详解】由题意，二项式的展开式中通项公式．
由，解得，即展开式的最大的项为．
由二项展开式，
两边求导可得：，
令，可得．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
15.已知向量，向量在向量上的投影为3，且，则_____．
【答案】7．
【解析】
【分析】
根据条件即可得出，然后对两边平方，可得出，即可求解，得到答案．
【详解】根据条件：，且；
则；
整理得，解得或（舍去）．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答）
【答案】168．
【解析】
【分析】
根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置，
若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置，
可分4种情况讨论：
①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，
若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有种排法，
若乙在6号位置，有种排法，
由分类计数原理可得，共有种排法；
②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；
③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，
若乙在1号位置，有种排法，
若乙在5号位置，有种排法，
若乙在6号位置，有种排法，
由分类计数原理可得，共有种排法；
④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有种不同的排法；
故答案为：168．
【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
17.已知不等式恒成立，其中为自然常数，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定的最大值.
【详解】令
当时，，不满足条件；
当时，，
当时当时
因此，
从而
令
再令
所以当时；
当时；
即，从而的最大值为.
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.设函数的图象关于直线对称，其中常数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解，即可求解函数的周期．
（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解．
【详解】（1）由题意，函数
，
又由函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
解得，又因为，所以，即
所以最小正周期为.
（2）因为，所以，则，
所以，即函数在区间上的取值范围.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
19.如图，在四棱锥中，底面平行四边形，，侧面底面，．
（1）求证：平面平面；
（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明，推出面，得到，证明，说明面，即可证明面平面．
（2）取中点，以点为原点，分别以为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，求出面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）由题意，因为，则，
又侧面底面，面面，面，
所以面，又面，则
又因为四边形为平行四边形，且
则为等边三角形，则为菱形，则
又，则面，面，则面平面．
（2） 取中点，以点为原点，分别以为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
由点为中点，，
则，
设面的法向量为，则，则
设直线与面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20.已知函数，其中为实数．
（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．
（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）分析当时的单调性，可得的单调性，由二次函数的单调性，可得的范围；
（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．
【详解】（1）由题意，当时，为减函数，
当时，，
若时，也为减函数，且，
此时函数为定义域上的减函数，满足条件；
若时，在上单调递增，则不满足条件．
综上所述，．
（2）由函数的解析式，可得，
当时，，不满足条件；
当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；
当时，在上，仅有，
对于上，的最大值为，
不存在满足，满足条件；
当时，在上，不存在整数满足，
对于上，，
不存在满足，不满足条件；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．
21.已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆过点，以及离心率为，求出，即可得到椭圆方程．
（2）设直线方程为，则，求得，当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及，得到与的关系，代入直线的方程，即可求解．
详解】（1）由题意，椭圆过点，即，解得，
由离心率，又由，解得，所求椭圆方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，所以，解得，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，得，
设，则 （*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得，
代入直线方程，得，
即，联立方程组，解得，
恒过定点.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
22.设函数．
（1）当时，求证：；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，，不等式化为，构造函数，利用导数求函数的最小值，从而证明不等式成立；
（2）方法1：不等式化为，令，利用导数判断，不等式化为，记，求出的最大值，即可得出的取值范围．
方法2：讨论时，，求得的取值范围，再证明时，在上恒成立．
【详解】（1）当时，，
要证明，即证明；
记，则；
当时， ，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以，即；
（2）方法1： 即，
令，令，得；
所以在上单调减，在单调增，
则，
即，可化为，
记，则，且；
再令，
当时，，
，
由（1）可知，时成立，，，
由此，在
上单调增；
当时，，在上单调减；
因此，故；
方法2：当时，，由此
证明如下：当时，在上，恒成立，
，同法1证明，，
；
所以在上，恒成立，故．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．