2018届二轮复习向量运算与复数运算、算法、合情推理课件（全国通用） 77页

第二讲　 向量运算与复数运算、算法、合情推理 【 必备知识 】 1. 平面向量 (1) 两个非零向量平行、垂直的充要条件 : 若 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 则 ① a ∥ b ⇔ a =λ b ( b ≠ 0 ,λ∈R)⇔__________; ② a ⊥ b ⇔ a · b =0⇔__________. x 1 y 2 -x 2 y 1 =0 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 (2) 重要结论 : ① 若 a 与 b 不共线 , 且 λ a +μ b = 0 , 则 λ=μ=0; ② 已知 (λ,μ 为常数 ), 则 A,B,C 三点共 线的充要条件是 λ+μ=1. (3) 三个性质 : ① 若 a =(x,y), 则 | a |= =_______; ② 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 | |=________________; ③ 设 θ 为 a 与 b ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) 的夹角 , 且 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 , y 2 ), 则 cosθ= =_________________. 2. 复数 (1) 四则运算法则 : ①(a+bi)±(c+di)= _______________(a,b,c,d∈R); ②(a+bi)(c+di)= _________________(a,b,c,d∈R); ③(a+bi)÷(c+di)= (a,b,c,d∈R,c+di ≠0). (a±c)+(b±d)i (ac-bd)+(bc+ad)i (2) 常用结论 : ①(1±i) 2 = _____;② =__;③ = ___;④-b+ai =i(a+bi);⑤i 4n =1,i 4n+1 =i,i 4n+2 =-1,i 4n+3 =-i, 其中 n∈N * . ±2i i -i 【 真题体验 】 1.(2017 · 全国卷 Ⅰ) 设有下面四个命题 p 1 ：若复数 z 满足 ∈ R ，则 z∈R ； p 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈R ，则 z∈R ； p 3 ：若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈R ，则 z 1 = ； p 4 ：若复数 z∈R ，则 ∈ R. 其中的真命题为 ( 　　 ) A.p 1 ， p 3 B.p 1 ， p 4 C.p 2 ， p 3 D.p 2 ， p 4 【 解析 】 选 B.p 1 ：设 z=a+bi(a ， b∈R) ， 则 ∈ R ，得到 b=0 ，所以 z∈R. 故 p 1 正确； p 2 ：若 z 2 =-1 ，满足 z 2 ∈R ，而 z=i ，不满足 z∈R ， 故 p 2 不正确； p 3 ：若 z 1 =1 ， z 2 =2 ，则 z 1 z 2 =2 ，满足 z 1 z 2 ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故 p 3 不正确； p 4 ：实数的共轭复数是它本身，也是实数，故 p 4 正确 . 故选 B. 2.(2016 · 全国卷 Ⅱ) 已知向量 a =(1 ， m) ， b =(3 ， -2) ，且 ( a + b )⊥ b ，则 m=( 　　 ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 【 解析 】 选 D. a + b =(4 ， m-2) ，因为 ( a + b )⊥ b ，所以 ( a + b ) · b =12-2(m-2)=0 ，解得 m=8. 3.(2016· 全国卷 Ⅱ) 有三张卡片 , 分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲、乙、丙三人各取走一张卡片 , 甲看了乙的卡片后说 :“ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2.” 乙看了丙的卡片后说 :“ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1.” 丙说 :“ 我的卡片上的数字之和不是 5.” 则甲的卡片上的数字是 ________. 【 解析 】 由题意得 : 丙不拿 (2,3), 若丙 (1,2), 则乙 (2,3), 甲 (1,3) 满足 , 若丙 (1,3), 则乙 (2,3), 甲 (1,2) 不满足 , 故甲的卡片上的数字为 1 和 3. 答案 : 1 和 3 【 大数据易错点 】 排序 1: 复数中相关概念不清致误 . 如复数中的实部、虚部以及共轭复数等引起的运算错误 . 排序 2: 不能准确把握循环次数致误 . 解答循环结构的程序框图 ( 流程图 ) 问题 , 要注意循环次数 , 防止多一次或少一次的错误 . 排序 3: 忽略特殊情况致误 . 两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于 0 不等价 ; 两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于 0 不等价 . 热点考向一　平面向量的运算及应用 命题解读 : 考查向量的加法、减法及其几何意义、向量的坐标运算、向量的数量积及其综合应用 , 主要求向量的夹角、模、参数值或判断向量的平行、垂直关系 , 以选择题、填空题为主 . 1.(2016 · 全国卷 Ⅰ) 设向量 a =(m ， 1) ， b =(1 ， 2) ， 且 | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ，则 m=________. 【 解析 】 由已知得： a + b =(m+1 ， 3) ， 所以 | a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ⇔(m+1) 2 +3 2 =m 2 +1 2 +1 2 +2 2 ， 解得 m=-2. 答案： -2 2.(2017· 郑州三模 ) 在△ ABC 中 ,∠A= ,O 为平面内一 点 , 且 |OA|=|OB|=|OC|,M 为劣弧 BC 上一动点 , 且 , 则 p+q 的取值范围为 ________. 世纪金榜导学号 92494026 【 解析 】 因为 |OA|=|OB|=|OC|, 所以 O 为△ ABC 外接圆 圆心 , 设其半径为 R, 平方可得 R 2 =p 2 R 2 +2pq +q 2 R 2 , 因为∠ A= , 所以 < >= , 所以可得 p 2 -pq+q 2 =1, 所以 (p+q) 2 =3pq+1, 因为 M 为劣弧 BC 上一动点 , 所以 p≥0,q≥0, 所以 (p+q) 2 =3pq+1≥1, 又 pq≤ , 所以 (p+q) 2 =3pq+1≤ (p+q) 2 +1 ⇒ (p+q) 2 ≤4, 所以 1≤(p+q) 2 ≤4 ⇒ 1≤p+q≤2. 答案 : 1≤p+q≤2 3.(2017· 天津高考 ) 在△ ABC 中 ,∠A=60°,AB=3,AC= 2. 若 (λ∈R), 且 =-4, 则 λ 的值为 ________. 【 解析 】 =3×2×cos60°=3, = ×3+ ×4-3-2=-4, 所以 ,λ= . 答案 : 4.( 新题预测 ) 在平行四边形 ABCD 中 ,M 为 BC 的中点 , 若 则 λμ=________. 【 解析 】 由图形可得 : ①×2+② 得 : 所以 所以 λμ= . 答案 : 5.(2017· 南昌二模 ) 已知数列 {a n } 为等差数列 , 且满 足 若 (λ∈R), 点 O 为直 线 BC 外一点 , 则 a 1 +a 2017 =________. 　世纪金榜导学号 92494027 【 解析 】 因为 所以 即 又因为 (λ∈R), 所以 a 3 +1+a 2015 =1, 所以 a 3 +a 2015 =0, 所以 a 1 +a 2017 =a 3 +a 2015 =0. 答案 : 0 【 规律方法 】 1. 向量模长的两种计算方法 (1) 利用 | a | 2 = a 2 转化为向量的数量积 . (2) 把向量转化为坐标的形式 , 利用公式运算求解 . 2. 求解向量数量积最值问题的两种思路 (1) 直接利用数量积公式得出代数式 , 依据代数式求最值 . (2) 建立平面直角坐标系 , 通过坐标运算得出函数式 , 转化为求函数的最值 . 热点考向二　复数的概念及运算 命题解读 : 主要考查复数的有关概念 , 如纯虚数、复数相等、共轭复数等 , 复数的四则运算中主要考查乘除运算 , 以选择题、填空题为主 . 1.(2017 · 全国卷 Ⅰ) 下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( 　　 ) A.i(1+i) 2 B.i 2 (1-i) C.(1+i) 2 D.i(1+i) 【 解析 】 选 C. 由 (1+i) 2 =2i 为纯虚数知选 C. 2.(2017· 开封三模 ) 已知复数 z 的共轭复数为 , 若 (i 为虚数单位 ), 则在复平面内 , 复数 z 所对应的点位于 世纪金榜导学号 92494028 ( 　　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【 解析 】 选 A. 依题意 , 设 z=a+bi(a,b∈R), 则 =2a+bi, 故 2a+bi= 故 则在复平面内 , 复数 z 所对应的点为 位于第一象限 . 3.( 新题预测 ) 已知 i 是虚数单位 , 若复数 z= 在复 平面上对应的点在直线 2x-y=0 上 , 则实数 a 的值为 　 ( 　　 ) A.1 B.-1 C.4 D.-4 【 解析 】 选 C. 复数 所以复数在复平面上对应的点为 所以 =0, 解得 a=4, 故选 C. 4.(2017· 乌鲁木齐一模 ) 复数 = 　 ( 　　 ) A.-i B.1+i C.i D.1-i 【 解析 】 选 A. 因为 5. 若 z i (i=1,2,3) 是复数 , 且集合 A={z 1 |z 1 (1+i)=2-2i},B={z 2 | z 2 2 +4=0},z 3 ∈A∩B, 则 z 3 =________. 【 解析 】 因为 A={z 1 |z 1 (1+i)=2-2i} = 所以 A={-2i}. 又 (±2i) 2 +4=0, 所以 B={2i,-2i}, A∩B={-2i}, 故 z 3 =-2i. 答案 : -2i 6. 已知 i 为虚数单位 ,a∈R, 复数 z= 在复平面上对 应的点在 y 轴上 , 则 a=________. 【 解析 】 z= 由 a+3=0 得 :a=-3. 答案 : -3 【 规律方法 】 1. 与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题的解题思路 (1) 变形分离出实部和虚部 , 把复数的非代数形式化为代数形式 .(2) 根据条件 , 列方程 ( 组 ) 求解 . 2. 与复数 z 的模 |z| 和共轭复数有关的问题的解题策略 (1) 设出复数 z 的代数形式 z=a+bi(a,b∈R), 代入条件 .(2) 用待定系数法解决 . 热点考向三　程序框图 ( 流程图 ) 类型一 求输入或输出的值 1.(2015· 全国卷 Ⅰ) 执行如图所示的程序框图 , 如果输入的 t=0.01, 则输出的 n= 　 ( 　　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 【 解析 】 选 C. 执行第一次 ,t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5,m= =0.25,n=1,S=0.5>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第二次 ,S=S-m=0.25,m= =0.125,n=2,S=0.25>t =0.01, 是 , 循环 ; 执行第三次 ,S=S-m=0.125,m= =0.0625,n=3,S= 0.125>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第四次 ,S=S-m=0.0625,m= =0.03125,n=4, S=0.0625>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第五次 ,S=S-m=0.03125,m= =0.015625,n=5,S= 0.03125>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第六次 ,S=S-m=0.015625,m= =0.0078125,n=6, S=0.015625>t=0.01, 是 , 循环 ; 执行第七次 ,S=S-m=0.0078125,m= =0.00390625, n=7,S=0.0078125>t=0.01, 否 , 输出 n=7. 类型二 完善程序框图 ( 流程图 ) 2.(2017· 全国卷 Ⅱ) 执行如图所示的程序框图 , 如果输入的 a=-1, 则输出的 S= 　 ( 　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 B. 阅读程序框图 , 初始化数据 a=-1,K=1, S=0, 循环结果执行如下 : 第一次 :S=0-1=-1,a=1,K=2; 第二次 :S=-1+2=1,a=-1,K=3; 第三次 :S=1-3=-2,a=1,K=4; 第四次 :S=-2+4=2,a=-1,K=5; 第五次 :S=2-5=-3,a=1,K=6; 第六次 :S=-3+6=3,a=-1,K=7; 结束循环 , 输出 S=3. 3.(2017· 全国卷 Ⅰ) 如图所示的程序框图是为了求出 满足 3 n -2 n >1000 的最小偶数 n, 那么在 两 个空白框中 , 可以分别填入　 世纪金榜导学号 92494029 ( 　　 ) A.A>1000 和 n=n+1 B.A>1000 和 n=n+2 C.A≤1000 和 n=n+1 D.A≤1000 和 n=n+2 【 解题导引 】 理解程序目标 , 确定判断条件 . 【 解析 】 选 D. 由题意知 3 n -2 n >1000 时 , 输出 n, 故判断框内填 A ≤ 1000, 因为所求为最小偶数 , 所以矩形框内填 n=n+2, 故选 D. 4.(2017· 娄底二模 ) 我国南宋时期的数学家秦九韶在 他的著作 《 数书九章 》 中提出了计算多项式 f(x)= a n x n +a n-1 x n-1 + … +a 1 x+a 0 的值的秦九韶算法 , 即将 f(x) 改写成如下形式 :f(x)=( … ((a n x+a n-1 )x+a n-2 )x+ … +a 1 )x+a 0 , 首先计算最内层一次多项式的值 , 然后由内 向外逐层计算一次多项式的值 . 这种算法至今仍是比 较先进的算法 . 将秦九韶算法用程序框图表示 , 如图所示 , 则在空白的执行框内应填入　 ( 　　 ) A.v=vx+a i B.v=v(x+a i ) C.v=a i x+v D.v=a i (x+v) 【 解析 】 选 A. 秦九韶算法的过程是 (k=1,2,…,n), 这个过程用循环结构来实现 , 应在题图 中的空白执行框内填入 v=vx+a i . 5.( 新题预测 ) 执行如图的程序框图 , 若输入 k 的值为 3, 则输出 S 的值为 ________. 　世纪金榜导学号 92494030 【 解析 】 执行如题干图所示的程序框图 , 过程如下 : k=3,n=1,S=1, 满足条件 2Sb>0) 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体 ( 如图 )( 称为椭球体 ) ，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 ________. 【 解析 】 椭圆的长半轴为 a ，短半轴为 b ，现构造两个 底面半径为 b ，高为 a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个 以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆 锥，根据祖 暅 原理得出椭球的体积 V=2(V 圆柱 -V 圆锥 )= 答案： π×b 2 a 【 规律方法 】 合情推理的解题思路 (1) 在进行归纳推理时，要根据已知的部分个体，适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论 . (2) 在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质 . (3) 归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性 .