【数学】2020届一轮复习（文理合用）第4章第2讲平面向量的基本定理及坐标表示作业 7页

对应学生用书[练案29理][练案28文]‎ 第二讲　平面向量基本定理及坐标表示 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(1，－1)，则下列向量中与向量a平行且同向的是(　A　)‎ A．b＝(2，－2)　　　 B．b＝(－2,2)‎ C．b＝(－1,2)　　　 D．b＝(2，－1)‎ ‎[解析]　(2，－2)＝2(1，－1)，b＝2a，故选A．‎ ‎2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，则(　B　)‎ A．c＝a＋2b　　　 B．c＝a－2b C．c＝2b－a　　　 D．c＝2a－b ‎[解析]　设c＝xa＋yb，‎ ‎∴(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，‎ ‎∴得∴c＝a－2b，故选B．‎ ‎3．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　B　)‎ A．(－8,1)　　　 B．(－1，－)‎ C．(1，)　　　 D．(8，－1)‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，‎ 而＝(－8,1)＝(－4，)，‎ 所以解得 所以P点坐标为(－1，－)．故选B．‎ ‎4．已知向量a＝(，tanα)，b＝(cosα，1)，且a∥b，则cos2α＝(　C　)‎ A．　　　 B．－　　　‎ C．　　　 D．－ ‎[解析]　∵a∥b，a＝(，tanα)，b＝(cosα，1)，∴tanα·cosα＝，即sinα＝，∴cos2α ‎＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，故选C．‎ ‎5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为(　D　)‎ A．2　　　 B．－2　　　‎ C．　　　 D．－ ‎[解析]　由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，得m＝－，故选D．‎ ‎6．已知在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　C　)‎ A．(－，5)　　　 B．(，5)‎ C．(－，－5)　　　 D．(，－5)‎ ‎[解析]　因为在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝(－，－5)．故选C．‎ ‎7．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(　B　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　设线段BC的中点为M，则＋＝2．‎ 因为2＝＋，所以＝，‎ 则＝＝(＋)＝(＋)‎ ‎＝＋．‎ 由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.故选B．‎ ‎8．如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D．‎ 二、填空题 ‎9．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝__(4,6)___．‎ ‎[解析]　a＋b＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．‎ ‎10．已知向量＝(m，n)，＝(2,1)，＝(3,8)，则mn＝__7___．‎ ‎[解析]　∵＝＋＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7．‎ ‎11．已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a与a平行，则实数n的值为__0___．‎ ‎[解析]　b－a＝(m－1，n)，若b－a与a平行，则n×1＝(m－1)×0，得n＝0．‎ ‎12．已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6___．‎ ‎[解析]　∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20　①，　②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6．‎ ‎[方法归纳]　利用数量积求解向量的模有关问题的处理方法：‎ ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；‎ ‎(2)|a±b|＝＝；‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝．‎ 三、解答题 ‎13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：‎ ‎(1)|a＋3b|；‎ ‎(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？‎ ‎[解析]　(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ 所以a＋3b＝(7,3)，‎ 故|a＋3b|＝＝．‎ ‎(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，‎ 因为ka－b与a＋3b平行，‎ 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－．‎ 此时ka－b＝(k－2，－1)＝(－，－1)，‎ a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，‎ 即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．‎ ‎14．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．‎ ‎(1)若∥，求x与y之间的关系式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积，‎ ‎[解析]　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，‎ ‎∴＝－＝(－x－4,2－y)．‎ 又∥且＝(x，y)，‎ ‎∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①‎ ‎(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，‎ ＝＋＝(x－2，y－3)，‎ 又⊥，∴·＝0．‎ 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②‎ 联立①②，化简得y2－2y－3＝0．‎ 解得y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，‎ 此时＝(0,4)，＝(－8,0)，‎ 当y＝－1时，x＝2．‎ 此时＝(8,0)，＝(0，－4)．‎ ‎∴S四边形ABCD＝||·||＝16．‎ B组能力提升 ‎1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　A　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[解析]　向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1.故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A．‎ ‎2．(2018·东北三省三校二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝(　C　)‎ A．0　　　 B．　　　‎ C．－2　　　 D．－3‎ ‎(理)(2018·河北石家庄二中模拟)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝(　B　)‎ A．6　　　 B．－6　　　‎ C．－　　　 D． ‎[解析]　(文)因为a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t,2＋2t)，且(a－b)∥(2a＋tb)，所以2(2＋2t)＝－(2－t)，解得t＝－2．‎ ‎(理)因为a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，‎ 所以解得t＝－6．‎ ‎[方法技巧]　a∥b的充要条件有两种表达方式：(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0这一限制．‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　B　)‎ A．a＋b　　　 B．a＋b C．a＋b　　　 D．a＋b ‎[解析]　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF．‎ ‎∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋．‎ 则＝＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.故选B．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　A　)‎ ‎[解析]　由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A．‎ ‎5．(2018·河南濮阳二模)如图，有5个全等的小正方形，＝x＋y，则x＋y的值是__1___．‎ ‎(理)(2018·安徽五校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是__(－2,0)___．‎ ‎[解析]　(文)因为＝－，而＝2，＝＋＝2－，‎ 所以＝－＝2－(2－)＝3AE－2AF．‎ 又，不共线，且＝x＋y，‎ 所以x＋y＝3－2，所以x＝3，y＝－2，故x＋y＝1．‎ ‎(理)设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)，因为＝，点O在线段CD上，且不与C，D重合，所以y∈(0,2)，因为＝x＋(1－x)，所以x＝－y∈(－2,0‎ ‎)．‎