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- 2021-04-29 发布
平谷区2019—2020学年度第一学期质量监控试卷
高一数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）
1.已知集合，，则等于（ ）
A. B. {2} C. {4} D. {2,4}
【答案】D
【解析】
【分析】
通过解一元二次方程，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.已知 且，则角的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.
【详解】依据题设及三角函数的定义
可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.
3.下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
y=2x为指数函数，没有奇偶性；
y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；
y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；
y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．
故选C．
4.在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由递增排除，由递减排除选项，从而可得结果．
【详解】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；
的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5.已知，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，因为的正负性不明确，故不能由 一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.
6.方程在区间[0,2π]上根的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
对方程进行恒等变形，转化为两个函数的图象的交点个数问题.
【详解】当时方程不成立，
当时，，作出两个函数图象如下图所示：
可以发现有两个交点.
故选：C
【点睛】本题考查了方程解的个数问题，考查了转化思想，考查了数学结合思想.
7.已知那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把原式变成分母为1的形式，并用替代，最后利用同角的三角函数的商关系求值即可.
【详解】.
【点睛】本题考查了同角的三角函数的平方和关系和商关系，考查了数学运算能力，考查了代数式恒等变换能力.
8.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大
A. 16.5 B. 19.5 C. 21.5 D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中所给的数据可以得出日销售量与定价成一次函数关系，根据题意得到利润与定价的函数关系，最后求出最大值即可.
【详解】由题目给的表中数量可以知道：定价每增加一元，日销售量减少40盒，所以设定价（元）与日销售量（盒）的函数关系式为：，任取表中两组数据，不妨取前二组，代入解析式中得：，设利润为（元），
由题意可知：，由基本不等式可知：
根据二次函数的性质可知：当时，函数有最大值，即当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润最大.
故选：C
【点睛】本题考查了数学建模思想，考查了二次函数的性质，考查了一次函数的性质，考查了数学运算能力.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9.等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】
直接运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦值求接求出即可.
【详解】.
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题.
10.的值等于________.
【答案】3
【解析】
【分析】
直接运用对数的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：3
【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
11.已知函数，那么当=________时，_函数的最小值为________.
【答案】 (1). 2 (2). 4
【解析】
【分析】
利用基本不等式可以直接求解即可.
【详解】，当且仅当时取等号，即时，函数的最小值为4.
故答案：2；4
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.
12.函数的最大值为__________．
【答案】3
【解析】
分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.
详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案3.
点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.
13.函数（）是区间上的增函数，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
函数（）的图象如图：由图像可知函数（）是区间上的增函数，
则须．
故答案为．
【点睛】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，解题时注意数形结合思想的应用
14.已知函数. 给出下列结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上增函数；
③；
④若则恒成立，则A的最小值为4.
其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用正弦型型函数的性质逐一判断即可.
【详解】①: ,所以函数是奇函数，故本结论正确；
②：，所以函数在区间上是减函数，故本结论是错误的；
③：，所以本结论是正确的；
④： ，所以A的最小值为
4，所以本结论是正确的.
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了绝对值的性质，属于基础题.
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.已知，且为第三象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数关系式，结合已知，可以求出，的值
（2）由（1）所求的值，根据诱导公式，最后代入求值即可.
【详解】（1）因为，且为第三象限角，所以有
所以，；
（2）.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.
16.已知，
（1）当时，解不等式；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）或；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接按照解一元二次不等式的方法进行求解即可；
（2）对不等式进行因式分解，然后分类讨论，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，所以
由所以，
所以不等式的解为
(2)因为，所以
化为
①时，
②当时， ；
③当时，
综上①时②当时，
；③当时，.
【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了解含参的一元二次不等式，考查了分类讨论思想，考查数学运算能力.
17.已知函数，.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求证：当时，.
【答案】（1），，；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正弦型函数的最小正周期公式、单调性直接求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性求出函数的最小值即可证明出结论.
【详解】（1）.
所以函数的最小正周期为.
令
得，
所以函数的单调减区间为，
（2）因为，
所以．
当即时
函数有最小值
所以当时，
【点睛】本题考查了正弦型函数的最小正周期公式、单调性，考查了数学运算能力.
18.已知二次函数的图象经过三点.
（1）求函数的解析式，并求的最小值；
（2）是否存在常数，使得当实数满足时，总有恒成立，若存在求的值，不存在说明理由.
【答案】（1），最小值；（2）存在，，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设出二次函数的解析式，把三个点的坐标代入，通过解方程组求出系数、再对函数解析式进行配方即可求出最小值；
（2）根据所给的等式，结合二次函数的解析式，最后可以求出的值.
【详解】（1）解:的图象经过三点.
设（）.
将三点坐标代入，，可以解得
所以，
的最小值为.
（2）解：存在
因为，所以
，
又，所以，成立，当且仅当
即
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的最小值求法，考查了等式恒成立问题，考查了数学运算能力.
19.在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点,过做轴的垂线交轴于.
(1) 求，；
(2)求的面积.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出，根据三角函数的定义求出，再利用同角的三角函数的商关系求出的值；
（2）根据题意，由诱导公式、三角函数的定义可以求出点的坐标，最后求出的面积.
【详解】（1）由已知可得， ，
；
(2) 因为 ,
所以.
所以的面积
【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了同角的三角函数的商关系.
20.定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．
（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
【答案】（1）③；（2）见解析；（3）1
【解析】
试题分析：（1）根据新定义判断即可，
（2）根据新定义证明即可，
（3）为线周期函数，可得存在非零常数，对任意，.．即可得到，解得验证即可．
试题解析：
（1）③；
（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，
∴存在非零常数，对任意 ，恒成立.
∵,
∴ .
∴为周期函数.
（3）∵为线周期函数，
∴存在非零常数，对任意，.
∴．
令，得；令，得；
①②两式相加，得.
∵，∴．检验：
当时，．存非零常数，对任意，
，
∴为线周期函数，综上，.