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- 2021-04-29 发布
一、选择题
1.【2012 高考真题重庆理 5】设 是方程 的两个根，则
的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2.【2012 高考真题浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
（纵坐标不变），然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为 ，结合函数图象可知选项A符合要
求。故选A.
3.【2012 高考真题新课标理 9】已知 ，函数 在 上单调递减.
则 的取值范围是（ ）
【答案】A
【解析】函数 的导数为 ，要使函数
在 上单调递减，则有 恒成立，
tan ,tanα β 2 3 2 0x x− + = tan( )α β+
)1cos( += xy
0ω > ( ) sin( )4f x x
πω= + ( , )2
π π
ω
( )A 1 5[ , ]2 4 ( )B 1 3[ , ]2 4 ( )C 1(0, ]2 ( )D (0,2]
)4sin()(
πω += xxf )4cos()('
πωω += xxf
)4sin()(
πω += xxf ),2( ππ
0)4cos()(' ≤+= πωω xxf
则 ，即 ，所以
，当 时， ，又 ，所以有
，解得 ，即 ，选 A.
4.【2012 高考真题四川理 4】如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，
连接 、 则 （ ） [来源:学_科_网]
A、 B、 C、 D、
5.【2012 高考真题陕西理 9】在 中，角 所对边长分别为 ，若 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.【2012 高考真题山东理 7】若 ， ，则
πππωππ
kxk 22
3
422
+≤+≤+ ππωππ
kxk 24
524
+≤≤+
Zkkxk ∈+≤≤+ ，ω
π
ω
π
ω
π
ω
π 2
4
2
4 0=k ω
π
ω
π
4
5
4
≤≤ x ππ << x2
πω
ππ
ω
π ≥≤
4
5,24 4
5,2
1 ≤≥ ωω
4
5
2
1 ≤≤ ω
ABCD 1 BA E 1AE =
EC ED sin CED∠ =
3 10
10
10
10
5
10
5
15
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 22a b c+ =
cosC
3
2
2
2
1
2
1
2
−
4 2
π πθ ∈ ， 3 7sin 2 = 8
θ sinθ =
（A） （B） （C） （D）
7.【2012 高考真题辽宁理 7】已知 ， (0，π)，则 =
(A) 1 (B) (C) (D) 1
8.【2012 高考真题江西理 4】若 tan + =4,则 sin2 =
A． B. C. D.
【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的倍 角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由 得， ，即 ，所
以 ，选 D.
9.【2012 高考真题湖南理 6】函数 f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为
A． [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]
3
5
4
5
7
4
3
4
sin cos 2α α− = α ∈ tanα
− 2
2
− 2
2
θ 1
tanθ θ
1
5
1
4
1
3
1
2
4tan
1tan =+ θθ 4cossin
cossin
sin
cos
cos
sin 22
=+=+ θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
4
2sin2
1
1 =
θ
2
12sin =θ
6
π
3 3 3
2
3
2
10.【2012 高考真题上海理 16】在 中，若 ，则 的形状
是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由 ,可知 ，在三角形中
，所以 为钝角，三角形为钝角三角形，选 C.
11.【2012 高考真题天津理 2】设 则“ ”是“ 为偶函
数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
12.【2012 高考真题天津理 6】在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 ，已知
8b=5c，C=2B，则 cosC=
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,根据正弦定理有 ，
所以 ，所以 。又
，所以 ，选 A.
13.【2012 高考真题全国卷理 7】已知α为第二象限角， ，则 cos2α=
,R∈ϕ 0=ϕ ))(cos()( Rxxxf ∈+= ϕ
ABC∆ cba ,,
25
7
25
7−
25
7±
25
24
ABC∆ CBA 222 sinsinsin <+ ABC∆
CBA 222 sinsinsin <+ 222 cba <+
02cos
222
<−+=
ab
cbaC C
BC 2= BBBC cossin2)2sin(sin ==
B
b
C
c
sinsin
=
5
8
sin
sin ==
B
C
b
c
5
4
5
8
2
1
sin2
sincos =×==
B
CB
1cos2)2cos(cos 2 −== BBC 25
7125
1621cos2cos 2 =−×=−= BC
3
3cossin =+ αα
(A) （B） (C) (D)
二、填空题
14.【2012 高考真题湖南理 15】函数 f（x）=sin ( )的导函数 的部分图像如
图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
（1）若 ，点 P 的坐标为（0， ），则 ;
（2）若在曲线段 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .
【答案】（1）3； （2）
5- 3
5- 9
5
9
5
3
xω ϕ+ ( )y f x′=
6
πϕ = 3 3
2
ω =
ABC
4
π
15.【2012 高考真题湖北理 11】设△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 若
，则角 ．
【答案】
【解析】
[来源:学科网]
16.【2012 高考真题北京理 11】在△ABC 中，若 =2，b+c=7，cosB= ，则 b=_______。
17.【2012 高考真题安徽理 15】设 的内角 所对的边为 ；则下列命题正确
的是
①若 ；则 ②若 ；则
ABC A B C a b c
( )( )a b c a b c ab+ − + + = C =
2 2 2
2 2 2
a =-a
-ab 1 2cos = ,2 2 2 3
a b c b
a b cC Cab ab
π
+ −
+ −= = − ∠ =
由（ +b-c）(a+b-c)=ab, 得到
根据余弦定理 故
3
2π
a 4
1−
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
_____
2ab c>
3C
π< 2a b c+ >
3C
π<
③若 ；则 ④若 ；则
⑤若 ；则
【答案】①②③
【解析】正确的是
①
②
③当 时， 与 矛盾
④取 满足 得：
⑤取 满足 得：
18.【2012 高考真题福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的
余弦值为_________.
19.【2012 高考真题重庆理 13】设 的内角 的对边分别为 ，且 ，
, 则
3 3 3a b c+ =
2C
π< ( ) 2a b c ab+ <
2C
π>
2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π>
_____
2 2 2
2 2 1cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
π+ − −> ⇒ = > = ⇒ <
2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3
a b c a b a ba b c C Cab ab
π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ <
2C
π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ =
2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ <
2C
π<
2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π<
2
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5
3cos =A
13
5cos =B 3=b c =
20.【2012 高考真题上海理 4】若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小
为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】设倾斜角为 ，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则 ，
∴ = 。
21.【2012 高考真题全国卷理 14】当函数 取得最大值时，
x=___________.
22.【2012 高考江苏 11】（5 分）设 为锐角，若 ，则 的值为
▲ ．
)1,2(−=n l l
2arctan
α 2tan =α
α 2arctan
α 4cos 6 5
α π + = )122sin(
π+a
三、解答题
23.【2012 高考真题新课标理 17】（本小题满分 12 分）
已知 分别为 三个内角 的对边，
（1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 .
【答案】（1）由正弦定理得：
（2）
24.【2012 高考真题湖北理 17】（本小题满分 12 分）
已知向量 ， ，设函数
的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
(cos sin , sin )x x xω ω ω= −a ( cos sin , 2 3cos )x x xω ω ω= − −b
( )f x λ= ⋅ +a b ( )x∈R πx = ω λ 1( , 1)2
ω ∈
( )f x
, ,a b c ABC∆ , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c+ − − =
A 2a = ABC∆ 3 ,b c
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C+ − − = ⇔ − = +
sin cos 3sin sin sin( ) sin
13sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
A A A
A A
°
° ° °
⇔ + = + +
⇔ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ =
1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ =
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + =
（Ⅱ）若 的图象经过点 ，求函数 在区间 上的取值范围.
25.【2012 高考真题安徽理 16】）(本小题满分 12 分)
设函数 。
（I）求函数 的最小正周期；
（II）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ，
求函数 在 上的解析式。
( )y f x= π( ,0)4 ( )f x 3π[0, ]5
22( ) cos(2 ) sin2 4f x x x
π= + +
( )f x
( )g x x R∈ ( ) ( )2g x g x
π+ = [0, ]2x
π∈ 1( ) ( )2g x f x= −
( )g x [ ,0]π−
26.【2012 高考真题四川理 18】(本小题满分 12 分)
函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图
象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函数 的值域；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值。
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角
公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.
2( ) 6cos 3 cos 3( 0)2
xf x x
ω ω ω= + − > A
B C x ABC∆
ω ( )f x
0
8 3( ) 5f x = 0
10 2( , )3 3x ∈ − 0( 1)f x +
27.【2012 高考真题陕西理 16】（本小题满分 12 分）
函数 （ ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间
的距离为 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，则 ，求 的值。
【答案】
( ) sin( ) 16f x A x
πω= − + 0, 0A ω> >
2
π
( )f x
(0, )2
πα ∈ ( ) 22f
α = α
31.【2012 高考真题重庆理 18】（本小题满分 13 分（Ⅰ）小问 8 分（Ⅱ）小问 5 分）
设 ，其中
（Ⅰ）求函数 的值域
（Ⅱ）若 在区间 上为增函数，求 的最大值.
【答案】
32.【2012 高考真题浙江理 18】(本小题满分 14 分)在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c．已知 cosA＝ ，sinB＝ cosC．
(Ⅰ)求 tanC 的值；
(Ⅱ)若 a＝ ，求 ABC 的面积．
【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA＝ ＞0，∴sinA＝ ，
又 cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝ cosC＋ sinC．
整理得：tanC＝ ．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝ ．
又由正弦定理知： ，
故 ． (1)
对角 A 运用余弦定理：cosA＝ ． (2)
)2cos(sin)6cos(4)( xxxxxf +−−= ωωπω .0>ω
)(xfy =
)(xfy =
−
2,2
3 πx ω
∆
2
3 5
2 ∆
2
3
2 51 cos 3A− =
5
5
3
2
3
5
5
6
sin sin
a c
A C
=
3c =
2 2 2 2
2 3
b c a
bc
+ − =
解(1) (2)得： or b＝ (舍去)．
∴ ABC 的面积为：S＝ ．
33.【2012 高考真题辽宁理 17】(本小题满分 12 分)
在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c。角 A，B，C 成等差数列。
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)边 a，b，c 成等比数列，求 的值。
【答案】
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列
的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的
关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。
34.【2012 高考真题江西理 18】（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c。已知 ，
。
（1）求证：
（2）若 ，求△ABC 的面积。
【答案】
3b = 3
3
∆ 5
2
ABC∆
cos B
sin sinA C
a= 2
36.【2012 高考真题天津理 15】（本小题满分 13 分）
已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】
37.【2012 高考江苏 15】（14 分）在 中，已知 ．
（1）求证： ；
.,1cos2)32sin()32sin()( 2 Rxxxxxf ∈−+−++= ππ
)(xf
)(xf ]4,4[
ππ−
ABC∆ 3AB AC BA BC=
tan 3tanB A=
（2）若 求 A 的值．
【2011 年高考试题】
一、选择题:
1.(2011 年高考安徽卷理科 9)已知函数 ，其中 为实数，若
对 恒成立，且 ，则 的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若 对 恒成立，则 ，所以
5cos 5C = ，
( ) sin(2 )f x x ϕ= + ϕ ( ) ( )6f x f
π≤
x R∈ ( ) ( )2f f
π π> ( )f x
, ( )3 6k k k Z
π ππ π − + ∈ , ( )2k k k Z
ππ π + ∈
2, ( )6 3k k k Z
π ππ π + + ∈ , ( )2k k k Z
ππ π − ∈
( ) ( )6f x f
π≤ x R∈ ( ) sin( ) 16 3f
π π ϕ= + =
， .由 ，（ ），可知
，即 ，所以 ，代入 ，
得 ，由 ，得 ，故选
C.
2.(2011 年高考辽宁卷理科 4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b ，c，asin
AsinB+bcos2A= 则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3.(2011 年高考辽宁卷理科 7)设 sin ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
4.(2011 年高考浙江卷理科 6)若 ， ， ，
，则
（A） （B） （C） （D）
5. (2011 年高考全国新课标卷理科 5)已知角 的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，
终边在直线 上，则， （ ）
,3 2k k Z
π πϕ π+ = + ∈ ,6k k Z
πϕ π= + ∈ ( ) ( )2f f
π π> k Z∈
sin( ) sin(2 )π ϕ π ϕ+ > + sin 0ϕ < 72 ,6k k Z
πϕ π= + ∈ ( ) sin(2 )f x x ϕ= +
7( ) sin(2 )6f x x
π= + 72 2 22 6 2k x k
π π ππ π− + +
5
6 3k x k
π ππ π− −
2a b
a
=
2 3 2 2 3 2
1+ =4 3
π θ（ ） sin 2θ =
7
9
− 1
9
− 1
9
7
9
2 1 7sin 2 cos 2 2sin 1 2 1 .2 4 9 9
π πθ θ θ = − + = + − = × − = −
0 2
πα＜ ＜ 02
π β- ＜ ＜ 1cos( )4 3
π α+ =
3cos( )4 2 3
π β− = cos( )2
βα + =
3
3
3
3
− 5 3
9
6
9
−
θ
xy 2= =θ2cos
A
B
C
D
9. (2011 年高考天津卷理科 6)如图，在△ 中， 是边 上的点，且
，则 的值为（ ）
5
4−
5
3−
3
2
4
3
ABC D AC
,2 3 , 2AB AD AB BD BC BD= = = sinC
A． B．
C． D．
10．(2011 年高考湖北卷理科 3)已知函数 ，若 ，则 的取值
范围为
A. B.
C. D.
11．(2011 年高考陕西卷理科 6)函数 在 内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
3
3
3
6
6
3
6
6
( ) 3sin cos ,f x x x x R= − ∈ ( ) 1f x ≥ x
{ | , }3x k x k k z
ππ π π+ ≤ ≤ + ∈ { | 2 2 , }3x k k k z
ππ π π+ ≤ + ∈
5{ | , }6 6x k x k k z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 5{ | 2 2 , }6 6x k x k k z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
( ) cosf x x x= − [0, )+∞
【答案】B
【解析】：令 ， ，则它们的图像如图故选 B
12.(2011 年高考重庆卷理科 6)若 的内角 所对的边 满足 ，
且 ，则 的值为[来源:学科网]
（A） (B)
(C)1 (D)
13. (2011 年高考四川卷理科 6)在 ABC 中． .则 A 的取
值范围是( )
(A)(0， ] (B)[ ， ) (c)(0， ] (D) [ ， )
15． (2011 年高考福建卷理科 3)若 tan =3，则 的值等于
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
16．(2011 年高考福建卷理科 10)已知函数 f（x）=e+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数
∆ 2 2 2sin sin sin sin sinB C B C≤ + −
6
π
6
π π
3
π
3
π π
1y x= 2 cosy x=
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2( ) 4a b c+ − =
060C = ab
4
3 8 4 3−
2
3
α
2
sin 2
cos a
α
列的三个点 A,B,C，给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形
②△ABC 可能是直角三角形
③△ABC 可能是等腰三角形
④△ABC 不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空题:
1.(2011 年高考辽宁卷理科 16)已知函数 f（x）=Atan（ x+ ）（ ＞0， ），y=f
（x）的部分图像如下图，则 f（ ）=____________.
2.(2011 年高考安徽卷理科 14)已知 的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的
等差数列，则 的面积为_______________
【答案】
【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为 ，最大角为 ，由余弦定理得
，则 ，所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面
积为 .
3. (2011 年高考全国新课标卷理科 16)在 中， ，则 的最
ω ϕ ω
2
π＜ω
24
π
ABC∆
ABC∆
15 3
4, , 4a a a− + θ
2 2 2( 4) ( 4) 2 ( 4)cos120a a a a a+ = + − − − 10a =
1 6 10 sin120 15 32S = × × × =
ABC∆ 60 , 3B AC= = 2AB BC+
大值为 。
4.(2011 年高考重庆卷理科 14)已知 ，且 ，则 的值
为
5.(2011 年高考全国卷理科 14)已知 a∈( ， )，sinα= ，则 tan2α=
【答案】
【解析】 a∈( ， )，sinα=
则 tanα= 故 tan2α=
1sin cos2
α α= + 0, 2
πα ∈
cos2
sin( )4
α
πα −
2
π π 5
5
4
3
−
2
π π 5
5
2 5 2 5cos 1 sin 1 ( )5 5a a= − − = − − = −
5
sin 15
cos 22 5
5
a
a
= = −
−
2
2
12 ( )2tan 1 42
1 21 tan 31 ( )2 4
a
a
× − −= = = −− − −
6.(2011 年高考安徽卷江苏 7)已知 则 的值为__________
8．(2011 年高考北京卷理科 9)在 中。若 b=5， ，tanA=2，则 sinA=____________；
a=_______________。
,2)4tan( =+ π
x x
x
2tan
tan
ABC∆
4B
π∠ =
11．(2011 年高考上海卷理科 8)函数 的最大值为 。
三、解答题:
1. (2011 年高考山东卷理科 17)（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 .
（I） 求 的值；
（II） 若 cosB= ， ,求 的面积.
sin( )cos( )2 6y x x
π π= + −
cosA-2cosC 2c-a=cosB b
sin
sin
C
A
1
4 2b = ABC∆
2.(2011 年高考浙江卷理科 18)（本题满分 14 分）在 中，角 所对的边分别为
a,b,c 已知 且 .（Ⅰ）当 时，求 的
值；(Ⅱ)若角 为锐角，求 p 的取值范围；
3.
(2011 年高考天津卷理科 15)（本小题满分 13 分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求 的定义域与最小正周期；
ABC . .A B C
( )sin sin sin ,A C p B p R+ = ∈ 21
4ac b= 5 , 14p b= = ,a c
B
( ) tan(2 ),4f x x
π= +
( )f x
（Ⅱ）设 ，若 求 的大小．
4. (2011 年高考江西卷理科 17)（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1-sin
（1）求 sinC 的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边 c 的值
5. (2011 年高考湖南卷理科 17) （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分
别为 ，且满足 .
0, 4
πα ∈ ( ) 2cos2 ,2f
α α= α
2
C
ABC∆ CBA ，，
cba ，， CaAc cossin =
求角 的大小；
求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小.
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
（1）求 的值；
（2）设 求 的值.
【解析】解：（1）
；
（2）
( )Ι C
( )ΙΙ
+−
4cossin3
π
BA BA，
1( ) 2sin( ),3 6f x x x R
π= − ∈
5( )4f
π
10 6, 0, , (3 ) , (3 2 ) ,2 2 13 5f f
π πα β α β π ∈ + = + = cos( )α β+
5 1 5( ) 2sin( )4 3 4 6f
π ππ= × −
2sin 24
π= − =
10 13 2sin 3 2sin ,13 2 3 2 6f
π π πα α α = + = × + − =
7. (2011 年高考湖北卷理科 16)（本小题满分 10 分）
设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 ，已知.
(Ⅰ) 求△ABC 的周长；
(Ⅱ)求 cos(A—C.)
8．(2011 年高考陕西卷理科 18)（本小题满分 12 分）叙述并证明余弦定理
【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角
的余弦的两倍积。或 ， ，
证法一 ，如图
即
, ,a b c 11, 2,cos 4a b C= = =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − Baccab cos2222 −+=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2a BC BC= ⋅ ( ) ( )AC AB AC AB= − ⋅ −
2 2
2AC AC AB AB= − ⋅ + 2 2
2 cosAC AC AB A AB= − ⋅ +
2 22 cosb bc A c= − + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
同理可证 ，
9.(2011 年高考重庆卷理科 16)（本小题满分 13 分）
设 满足 ，求函数 在
上的最大值和最小值
所以 在 上的最小值为
Baccab cos2222 −+= 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
( ) ( ) 2, cos sin cos cos 2a R f x x a x x x
π ∈ = − + − ( ) (0)3f f
π− = ( )f x
11,4 24
π π
( )f x 11,4 24
π π
11 224f
π =
10. (2011 年高考四川卷理科 17)（本小题共 12 分）
已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知 ， ，求证： .
11.(2011 年高考全国卷理科 17) (本小题满分 l0 分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°，a+c= b，求 C.
【解析】：由正弦定理得 ，
由 ，即
7 3( ) sin cos ,4 4f x x x x R
π π = + + − ∈
( )f x
[ ]2( ) 2 0f β − =( ) ( )4 4cos ,cos5 5
β α β α− = + = − 0 2
πα β< < ≤
2
2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = =
2 2 sin 2 sin 2 2 sina c b R A R C R B+ = + = ⋅得 sin sin 2 sinA C B+ =
12.(2011 年高考安徽卷江苏 15)在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为
（1）若 求 A 的值；
（2）若 ，求 的值.
13．(2011 年高考北京卷理科 15)（本小题共 13 分）
已知函数 。
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为
cba ,,
,cos2)6sin( AA =+ π
cbA 3,3
1cos == Csin
( ) 4cos sin( ) 16f x x x
π= + −
( )f x
( )f x ,6 4
π π −
1)6sin(cos4)( −+= π
xxxf
所以 的最小正周期为
14．(2011 年高考福建卷理科 16)（本小题满分 13 分）
已知等比数列{an}的公比 q=3，前 3 项和 S3= 。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数 在 处取得最大值，且最大值为
a3，求函数 f（x）的解析式。
解：（I）由
1)cos2
1sin2
3(cos4 −+= xxx
1cos22sin3 2 −+= xx
xx 2cos2sin3 +=
)62sin(2
π+= x
)(xf π
13
3
( ) sin(2 )( 0,0 )f x A x A pϕ ϕ π= + > < < <
6x
π=
3
1
3
(1 3 )13 133, ,3 1 3 3
aq S
−= = =−得
【2010 年高考试题】
（2010 浙江理数）（9）设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零
点的是
（A） （B） （C） （D）
（2010 浙江理数）（4）设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：因为 0＜x＜ ，所以 sinx＜1，故 xsin2x＜xsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，
可知答案选 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理
不等关系的能力，属中档题
（2010 全国卷 2 理数）（7）为了得到函数 的图像，只需把函数
的图像
sin(2 )3y x
π= −
sin(2 )6y x
π= +
( ) 4sin(2 1)f x x x= + − ( )f x
[ ]4, 2− − [ ]2,0− [ ]0,2 [ ]2,4
0 2x
π＜ ＜ 2sin 1x x＜ sin 1x x＜
2
π
（A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位
（C）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位
（2010 辽宁理数）（5）设 >0,函数 y=sin( x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像
重合，则 的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
（2010 江西理数）7.E，F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法 1：约定 AB=6,AC=BC= ,由余弦定理 CE=CF= ,再由余弦
定理得 ，
解得
解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC= ,F(1,0),E(-1, 0),C
（0,3）利用向量的夹角公式得
4
π
4
π
2
π
2
π
16
27
2
3
3
3
3
4
ω ω
3
π
3
4π
ω
2
3
4
3
3
2
tan ECF∠ =
3 2 10
4cos 5ECF∠ =
3tan 4ECF∠ =
3 2
，解得 。
（2010 四川理数）（6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再
把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
（2010 天津理数）（7）在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 ，
，则 A=
4cos 5ECF∠ = 3tan 4ECF∠ =
siny x=
10
π
sin(2 )10y x
π= − sin(2 )5y x
π= −
1sin( )2 10y x
π= − 1sin( )2 20y x
π= −
2 2 3a b bc− =
sin 2 3sinC B=
（A） （B） （C） （D）
（2010 全国卷 1 理数）(2)记 ,那么
A. B. - C. D. -
（2010 湖南理数）6、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，若∠C=120°， ,
则
A、a>b B、a0)6
πω ω g(x)=2cos(2x+ )+1ϕ
x [0, ]2
π∈ f(x)
3[- ,3]2
2ω = x [0, ]2
π∈ 52x- [- , ]6 6 6
π π π∈
f(x) 33sin (- )=-6 2
π
3sin =32
π
f(x) 3[- ,3]2
20
π
,
▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，
且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 。线段 P1P2 的长为
3.（2010 江苏卷）13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，
，则 =____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（2010 浙江理数）（18）(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知
(I)求 sinC 的值；
(Ⅱ)当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为 cos2C=1-2sin2C= ，及 0＜C＜π
所以 sinC= .
（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 ，得
c=4
由 cos2C=2cos2C-1= ，J 及 0＜C＜π得
cosC=±
由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得
b2± b-12=0
2
3
2
3
6cosb a Ca b
+ = tan tan
tan tan
C C
A B
+
1cos2 4C = −
1
4
−
10
4
a c
sin A sin C
=
1
4
−
6
4
6
解得 b= 或 2
所以 b= b=
c=4 或 c=4
（2010 全国卷 2 理数）（17）（本小题满分 10 分）
中， 为边 上的一点， ， ， ，求 ．
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的
应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
（2010 辽宁理数）（17）（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且
（Ⅰ）求 A 的大小；
（Ⅱ）求 的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
ABC∆ D BC 33BD = 5sin 13B = 3cos 5ADC∠ = AD
6 6
6 6
2 sin (2 )sin (2 )sin .a A a c B c b C= + + +
sin sinB C+
22 (2 ) (2 )a b c b c b c= + + +
2 2 2a b c bc= + +
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
故 ，A=120° ……6 分
（2010 江西理数）17.（本小题满分 12 分）
已知函数 。
(1) 当 m=0 时，求 在区间 上的取值范围；
(2) 当 时， ，求 m 的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三
角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等
题.
（2010 北京理数）（15）（本小题共 13 分）
已知函数 。
( ) ( ) 21 cot sin sin sin4 4f x x x m x x
π π = + + + −
( )f x
3
8 4
π π
，
tan 2a = ( ) 3
5f a =
1cos 2A = −
(x)f 22cos2 sin 4cosx x x= + −
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值和最小值。
（2010 四川理数）（19）（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）○1 证明两角和的余弦公式 ；
○2 由 推导两角和的正弦公式 .
（Ⅱ）已知△ABC 的面积 ，且 ，求 cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运
算能力。
( )3f
π=
(x)f
C : cos( ) cos cos sin sinα β α β α β α β+ + = −
Cα β+ S : sin( ) sin cos cos sinα β α β α β α β+ + = +
1 , 32S AB AC= • = 3
5cos B =
（2010 天津理数）（17）（本小题满分 12 分）
已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 的性
质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。
（1）解：由 ，得
所以函数 的最小正周期为
因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又
，所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值为-1
2( ) 2 3sin cos 2cos 1( )f x x x x x R= + − ∈
( )f x 0, 2
π
0 0
6( ) , ,5 4 2f x x
π π = ∈ 0cos2x
sin( )y A xω ϕ= +
2( ) 2 3sin cos 2cos 1f x x x x= + −
2( ) 3(2sin cos ) (2cos 1) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x x x x
π= + − = + = +
( )f x π
( ) 2sin 2 6f x x
π = + 0, 6
π
,6 2
π π
(0) 1, 2, 16 2f f f
π π = = = − ( )f x 0, 2
π
（2010 广东理数）16、（本小题满分 14 分）
已知函数 在 时取得最大值 4．
(1) 求 的最小正周期；
(2) 求 的解析式；
(3) 若 ( α + )= ,求 sinα．
， ， ， ， ．（2010 山
东理数）
( ) sin(3 )( 0, ( , ),0f x A x A xϕ ϕ π= + > ∈ −∞ +∞ < <
12x
π=
( )f x
( )f x
f 2
3 12
π 12
5
3sin(2 )2 5
πα + = 3cos2 5
α = 2 31 2sin 5
α− = 2 1sin 5
α = 5sin 5
α = ±
（2010 湖南理数）16．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（II）求函数 的零点的集合。
2( ) 3sin 2 2sinf x x x= −
( )f x
( )f x
（2010 湖北理数） 16．（本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=
（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。
（2010 福建理数）19．（本小题满分 13 分）
。 ，轮
船位于港口 O 北偏西 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/小时的航行速度沿正
1 1cos( )cos( ), ( ) sin 23 3 2 4x x g x x
π π+ − = −
O某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时
30
东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与
轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与
航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
（2010 安徽理数）16、（本小题满分 12 分）
设 是锐角三角形， 分别是内角 所对边长，并且
。
(Ⅰ)求角 的值；
(Ⅱ)若 ，求 （其中 ）。
v
ABC∆ , ,a b c , ,A B C
2 2sin sin( ) sin( ) sin3 3A B B B
π π= + − +
A
12, 2 7AB AC a= =
,b c b c<
（2010 江苏卷）17、（本小题满分 14 分）
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，
仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，
请据此算出 H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的
距离 d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若
电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， - 最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的
应用。
（1） ，同理： ， 。
AD—AB=DB，故得 ，解得： 。
因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。
（2）由题设知 ，得 ，
α β
α β α β
α β
α β
tan tan
H HADAD
β β= ⇒ =
tan
HAB α=
tan
hBD β=
tan tan tan
H H h
β α β− = tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20
hH
α
β α
×= = =− −
d AB= tan ,tanH H h H h
d AD DB d
α β −= = = =
，（当且仅当 时，取等号）
故当 时， 最大。
因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。
故所求的 是 m。
（2010 江苏卷）23.（本小题满分 10 分）
已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、
解决问题的能力。满分 10 分。
（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学归纳法证明 cosnA 和 都是有理数。
①当 时，由（1）知 是有理数，从而有 也是有理数。
②假设当 时， 和 都是有理数。
2
tan tantan( ) ( )1 tan tan ( )1
H H h
hd hd d
H H h H H hd H H h dd d d
α βα β α β
−−−− = = = =− −+ ⋅ + −+ ⋅ +
( ) 2 ( )H H hd H H hd
−+ ≥ − ( ) 125 121 55 5d H H h= − = × =
55 5d = tan( )α β−
0 2
πβ α< < < 0 2
πα β< − < 55 5d = α β
d 55 5
2 2 2
cos 2
AB AC BCA AB AC
+ −= ⋅
sin sinA nA⋅
1n = cos A 2sin sin 1 cosA A A⋅ = −
( 1)n k k= ≥ coskA sin sinA kA⋅
当 时，由 ，
，
及①和归纳假设，知 和 都是有理数。
即当 时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。
【2009 年高考试题】
1．(2009·山东文理 3)将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得
图象的函数解析式是( ).
A. B. C. D.
2．(2009·浙江文理 8)已知 是实数，则函数 的图象不可能是 ( )
[来源:学+科+网]
答案：D
解析：对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 ，而 D 不符合要求，
它的振幅大于 1，但周期反而大于了 ．
3．(2009·天津理 7)已知函数 的最小正周期为 ，为了得到
函数 的图象，只要将 的图象
sin 2y x=
4
π
22cosy x= 22siny x= )42sin(1
π++= xy cos2y x=
a ( ) 1 sinf x a ax= +
2 , 1, 2T a Ta
π π= > ∴ <
2π
( ) sin( )( , 0)4f x x x R
πω ω= + ∈ > π
( ) cosg x xω= ( )y f x=
1n k= + cos( 1) cos cos sin sink A A kA A kA+ = ⋅ − ⋅
sin sin( 1) sin (sin cos cos sin ) (sin sin ) cos (sin sin ) cosA k A A A kA A kA A A kA A kA A⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
cos( 1)k A+ sin sin( 1)A k A⋅ +
1n k= +
A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度
C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度
4．(2009·江苏 4)函数 为常数，
在闭区间 上的图象如图所示，则 .
解析：考查三角函数的周期知识。
， ，所以 ，
5．(2009·安徽文理 16)在△ABC 中，sin(C-A)=1,sinB= .
(Ⅰ)求 sinA 的值；
(Ⅱ)设 AC= 6，求△ABC 的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小
题满分 12 分
解：(Ⅰ)由 ，且 ，∴ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴
8
π
8
π
4
π
4
π
sin( )( , ,y A x Aω ϕ ω ϕ= +
0, 0)A ω> > [ ,0]π− ω =
3
2T π= 2
3T π= 3ω =
3
1
2C A
π− = C A Bπ+ = −
4 2
BA
π= − 2sin sin( ) (cos sin )4 2 2 2 2
B B BA
π= − = −
2 1 1sin (1 sin )2 3A B= − = sin 0A> 3sin 3A =
A B
C
6.（2009·宁夏海南理 15）（本小题满分 12 分）
为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同
一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方
案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计
算 M，N 间的距离的步骤。
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到 M，N 点的俯角 ， ；B 点到 M，N 点的府角 ， ；A，B 的距离 d （如图1
α 1
β 2
α 2
β
所示）.
②第一步：计算 BM . 由正弦定理 ；
第二步：计算 BN . 由正弦定理 ；
第三步：计算 MN . 由余弦定理
7．(2009·山东理 17)设函数 。
(Ⅰ)求函数 的最大值和最小正周期；
(Ⅱ)设 A，B，C 为 的三个内角，若 ，且 C 为锐角，求 。
8．(2009·广东理16)已知向量 互相垂直，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
解：(1)∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入
得 ，又 ，∴
.
1
1 2
sin
sin( )
dBM
α
α α= +
1
2 1
sin
sin( )
dBN
β
β β= −
2 2
2 22 cos( )MN BM BN BM BN β α= + − × +
( ) 2cos(2 ) sin3f x x x
π= + +
( )f x
ABC∆ 1 1cos , ( )3 2 4
cB f= = − sin A
(sin , 2) (1,cos )a bθ θ= − =与 (0, )2
πθ ∈
sin cosθ θ和
10sin( ) ,010 2
πθ ϕ ϕ− = < < cosϕ
a b 0cos2sin =−=⋅ θθba θθ cos2sin =
1cossin 22 =+ θθ
5
5cos,5
52sin ±=±= θθ (0, )2
πθ ∈
5
5cos,5
52sin == θθ
9．(2009·江苏 15)
设向量
(1)若 与 垂直，求 的值；
(2)求 的最大值;
(3)若 ，求证： ∥ .
[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正
弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。
10．(2009·浙江理 18)在 ABC 中，角 A、 B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且满足
= ,
=3.
(Ⅰ)求 的面积；
(Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值。
解析：(I)因为 ，
，又由 ，得
，
(II)对于 ，又 ， 或 ，由 余弦定理得
(4cos ,sin ),α α=a (sin ,4cos ),β β=b (cos , 4sin )β β= −c
a 2−b c tan( )α β+
| |+b c
tan tan 16α β = a b
cos 2
A
2 5
5
AB
AC
ABC
2 5cos 2 5
A = 2 3 4cos 2cos 1 ,sin2 5 5
AA A∴ = − = = 3AB AC⋅ =
cos 3,bc A = 5bc∴ = 1 sin 22ABCS bc A∆∴ = =
5bc = 6b c+ = 5, 1b c∴ = = 1, 5b c= =
，
11．(2009·天津理 17)在⊿ABC 中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求 AB 的值：
(II) 求 sin 的值
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两
角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。
12.（2009·福建理）（本小题满分 13 分）
如图，某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数
y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为[来源:Zxxk.Com]
S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定 MNP=120
（I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？
本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用
数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，
解法一
2 2 2 2 cos 20a b c bc A= + − = 2 5a∴ =
5
2 4A
π −
ω ω ∈
3
∠ o
ω
（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN= ，则 0°< <60°
由正弦定理得
,
故
0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道 MNP 最长
亦即，将∠PMN 设计为 30°时，折线段道 MNP 最长
解法二：
13.（2009·辽宁理 14）（本小题满分 12 分）
如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船
于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 ， ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均
为 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距
离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，
1.414， 2.449）
解:
在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， ……5 分
在△ABC 中，
θ θ
0 0sinsin120 sin(60 )
MP NP MN
θ θ
= =
−
10 3 sin3NP θ∴ = 010 3 sin(60 )3MN θ∴ = −
010 3 10 3 10 3 1 3sin sin(60 ) ( sin cos )3 3 3 2 3NP MN θ θ θ θ+ = + − = +
010 3 sin( 60 )3
θ= +
θ ∴ θ
075 030
060
2 ≈
6 ≈
,
ABCsin
C
BCAsin ∠
=
∠
AAB
即 AB=
因此，BD=
故 B，D 的距离约为 0.33km。 ……12 分
【2008 年高考试题】
1．(2008·山东卷)函数 的图象是
2．(2008·山东卷)已知 ，则 的值是
(A)- (B) (C)- (D)
3．(2008·山东理科卷)已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m＝( )，
n＝(cosA,sinA).若 m⊥n，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B＝ .
答案：
,
20
623
15sin
ACsin60 +=
。km33.0
20
623 ≈+
ln cos ( )2 2y x x
π π= − < <
4cos( ) sin 36 5
πα α− + = 7sin( )6
πα +
5
32
5
32
5
4
5
4
1,3 −
6
π
6
π
解析：本题考查解三角形
， ，
， 。
4．(2008·江苏卷) 的最小正周期为 ，其中 ，则 。
解析：本小题考查三角函数的周期公式。 。
答案：10
6．(海南、宁夏理科卷)已知函数 )在区间 的图像如下：那么
＝( )
A．1 B．2 C． D．
答案：B
解析：由图象知函数的周期 ，所以
7．(2008·海南、宁夏理科卷) ( )
A． B． C． D．
8．(2008·山东卷)已知函数 f(x)＝ 为偶函数，
且函数 y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
3 cos sin 0A A− = ,3A
π= sin cos sin cos sin sinA B B A C C+ =
2sin cos sin cos sin( ) sin sinA B B A A B C C+ = + = = .2C
π=
6B
π=∴
( ) cos( )6f x wx
π= −
5
π
0w > w =
2 105T ww
π π= = ⇒ =
2sin( )( 0)y xω ϕ ω= + > [ ]0 2π， ω
2
1
3
1
T π= 2 2T
πω = =
2
3 sin 70
2 cos 10
− =−
1
2
2
2 2 3
2
)0,0)(cos()sin(3 ><<+−+ ωϕϕωϕω πxx
.2
π
y
x2π
1
1
O
(Ⅰ)求 f( )的值；
(Ⅱ)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的
4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间.
9．(2008·广东卷)已知函数 ， 的最大值是 1，其图
8
π
6
π
( ) sin( )( 0 0 π)f x A x Aϕ ϕ= + > < <， x∈R
像经过点 ．
(1)求 的解析式；
(2)已知 ，且 ， ，求 的值．
10．(2008·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 ，它们的
终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 。
（1） 求 的值； (2) 求 的值。
π 1
3 2M
，
( )f x
π0 2
α β ∈ ， ， 3( ) 5f α = 12( ) 13f β = ( )f α β−
xoy ox ,α β
2 2 5,10 5
tan( )α β+ 2α β+
(2) ，
，从而 。
11．(2009·广东文16)已知向量 互相垂直，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【2007 年高考试题】
1．(2007·山东理 5)函数 的最小正周期和最大值分别为( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．(2007·广东理 3)若函数 ，则 是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的偶函数
答案：D
13 2tan( 2 ) tan[( ) ] 11 ( 3) 2
α β α β β
− +
+ = + + =
− − ×
=- 1
0 ,0 ,2 2
π πα β< < < <
30 2 2
πα β∴ < + < 32 4
πα β+ =
(sin , 2) (1,cos )a bθ θ= − =与 (0, )2
πθ ∈
sin cosθ θ和
10sin( ) ,010 2
πθ ϕ ϕ− = < < cosϕ
sin 2 cos 26 3y x x
π π = + − +
π 1 π 2 2π 1 2π 2
2 1( ) sin ( )2f x x x= − ∈R ( )f x
π
2 π
2π π
3．(2007·海南、宁夏理 3 )
函数 在区间 的简图是( )
答案：A
4．(2007·海南宁夏理 9)若 ，则 的值为( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：C
5．(2007·广东理 16)
已知 顶点的直角坐标分别为 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是钝角，求 的取值范围．
6．(2007·海南宁夏理 17)
如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测
得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．
πsin 2 3y x = −
π π2
− ，
cos2 2
π 2sin 4
α
α
= − −
cos sinα α+
7
2
− 1
2
− 1
2
7
2
ABC△ (3 4)A ， (0 0)B ， ( 0)C c，
5c = sin A∠
A∠ c
AB B C D
BCD BDC CD sα β∠ = ∠ = =， ， C A θ AB
7．(2007·山东理 20)如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀
速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距
海里，当甲船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处 ，此时两
船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？
解法一：如图，连结 ，由已知 ，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
由已知， ， ，
30 2
1A 105
1B 20
20 2A 120
2B
10 2
1 1A B 2 2 10 2A B =
1 2
2030 2 10 260A A = × =
1 2 2 1A A A B∴ =
1 2 2 180 120 60A A B = − = ∠
1 2 2A A B∴△
1 2 1 2 10 2A B A A∴ = =
1 1 20A B = 1 1 2 105 60 45B A B = − = ∠
北
1B
2B
1A
2A120
105
乙 甲
北
1B
2B
1A
2A120
105
甲
乙
在 中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理
，
2 1 1A A B△
2 2 2
2 1 2 2 1 2 1 1 1 22 cos105A B A B A A A B A A= + −
2 2 2(1 3)(10 2) 20 2 10 2 20 4
−= + − × × ×
100(4 2 3)= +
1 1 10(1 3)A B∴ = +
1 1
1 2 1 1 1 2
2 2
20 2(1 3) 2sin sin 4 210(1 3)
A BA A B B A AA B
+= = =
+ ∠ ∠
，即 ，
．
1 2 1 45A A B∴ = ∠ 1 2 1 60 45 15B A B = − = ∠
2(1 3)cos15 sin105 4
+= =