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- 2021-04-29 发布
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷
文 科 数 学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“ 0x R ， 01 ( ) 2f x ”的否定形式是（ ）
A． x R ，1 ( ) 2f x B． x R ，1 ( ) 2f x
C． x R ， ( ) 1f x 或 ( ) 2f x D． x R ， ( ) 1f x 或 ( ) 2f x
2．不等式 3 02
x
x
的解集为（ ）
A．{ | 2 3}x x B．{ | 2}x x
C．{ | 2x x 或 3}x D．{ | 3}x x
3．焦点在 x 轴上，短轴长为8，离心率为 3
5
的椭圆的标准方程是（ ）
A．
2 2
1100 36
x y B．
2 2
1100 64
x y C．
2 2
125 16
x y D．
2 2
125 9
x y
4．已知命题 0:p x R ， 0 02 lgx x ，命题 :q x R ， 2 0x ，则（ ）
A．命题 p q 是假命题 B．命题 p q 是真命题
C．命题 ( )p q 是真命题 D．命题 ( )p q 是假命题
5．曲线 lny x x 在 x e 处的切线方程为（ ）
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
A． y x e B． 2y x e C． y x D． 1y x
6．已知正实数a ，b 满足 4 30a b ，当 1 1
a b
取最小值时，实数对( , )a b 是（ ）
A．(5,10) B．(6,6) C．(10,5) D．(7,2)
7．若数列{ }na 是等差数列，其前n 项和为 nS ，若 6 2a ，且 5 30S ，则 8S 等于
（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
8．已知函数
2 sin( )= x xf x x
，则该函数的导函数 ( )f x （ ）
A． 2
2 cosx x
x
B．
2
2
cos sinx x x x
x
C． 2
2 cos sinx x x x
x
D． 2 cosx x
9．若双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的渐近线与抛物线 2 1
16y x 相切，则C 的
离心率为（ ）
A． 5
2
B． 3 C．2 D． 5
10．已知函数 3( ) 12 8f x x x 在区间[ 1,4] 上的最大值与最小值分别为 M ，m ，
则 M m 的值为（ ）
A．11 B．16 C．27 D．32
11．若O和 F 分别为椭圆
2 2
14 3
x y 的中心和左焦点， P 为椭圆上的任意一点，
则OP FP 的最大值为（ ）
A． 2 B．3 C．6 D．8
12．已知函数 ( ) xf x e ， ( ) lng x x ，若 ( ) ( )f t g s ，则当 s t 取得最小值时，
( )f t 所在的区间是（ ）
A．(ln 2,1) B． 1( ,ln 2)2 C． 1 1( , )3 e D． 1 1( , )2e
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．抛物线 2y ax 的准线方程是 2y ，则a的值为 ．
14．若等比数列{ }na 满足 2 4 20a a ， 3 5 40a a ，则前n项和 nS ．
15．若变量 x ， y 满足约束条件
2 8
0 4
0 3
x y
x
y
，则 x y 的最大值为 ．
16．已知函数 21( ) ln ( 0)2f x a x x a ，若对任意两个不相等的正实数 1x ， 2x ，
1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x
x x
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．（10 分）已知命题 :p 方程
2 2
12
x y
m
表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题
:q x R ， 24 4 4 3 0x mx m ．若( )p q 为真，求m 的取值范围．
18．（12 分）在 ABC△ 中，设内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，
π π 3sin( ) cos( )3 6 2C C ．
（1）求角C ；
（2）若 2 3c ，且sin 2sinA B ，求 ABC△ 的面积．
19．（12 分）已知数列{ }na 是首项为正数的等差数列，数列
1
1{ }
n na a 的前n 项和
为
2 1
n
n ．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设 ( 1) 2 na
n nb a ，求{ }nb 的前n 项和 nT ．
20．（12 分）已知关于 x 的不等式 2 2 1 0mx x m ．
（1）是否存在 m 使对所有的实数 x ，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范
围；
若不存在，请说明理由．
（2）设不等式对于满足 2m 的一切m 的值都成立，求 x的取值范围．
21．（12 分）如图，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左顶点为 ( 2,0)A ，且点
3( 1, )2
在椭圆上， 1F 、 2F 分别是椭圆的左、右焦点，过点 A 作斜率为 ( 0)k k 的
直线交椭圆 E 于另一点 B ，直线 2BF 交椭圆 E 于点C ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若 1FC AB ，求k 的值．
22．（12 分）已知函数 21( ) ln 12
af x a x x ．
（1）当 1
2a 时，求函数 ( )f x 在区间 1[ , ]ee
上的最值；
（2）讨论 ( )f x 的单调性．
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷
文 科 数 学（A）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“ x R ，
( ) 1f x 或 ( ) 2f x ”，故选 D．
2．【答案】A
【解析】原不等式等价于( 3)( 2) 0x x ，解得 2 3x ，故选 A．
3．【答案】C
【解析】由题意，知 2 8b ，得 4b ，所以 2 2 2 16b a c ．
又 3
5
ce a
，解得 3c ， 5a ．
又焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程为
2 2
125 16
x y ．故选 C．
4．【答案】C
【解析】当 10x 时， 2 8x ，lg lg10 1x ，故命题 p 为真命题；
令 0x ，则 2 0x ，故命题q为假命题．
依据复合命题真假性的判断法则，可知命题 p q 是真命题，命题 p q 是假命题，
q 是真命题，进而得到命题 ( )p q 是真命题，命题 ( )p q 是真命题．故选 C．
5．【答案】B
【解析】由题可得 ln 1y x ，则所求切线的斜率为ln 1 2e ，
又当 x e 时， lny e e e ，所以所求切线方程为 2( )y e x e ，即 2y x e ，
故选 B．
6．【答案】A
【解析】 1 1 1 1 (4 ) 1 4 1 4 3( ) (4 1) (5 2 )30 30 30 10
a b a b a b
a b a b b a b a
，
当且仅当
4
4 30
a b
b a
a b
，即 5
10
a
b
时取等号．故选 A．
7．【答案】B
【解析】设等差数列{ }na 的公差为 d ，
则有
1
1
5 2
5 (5 1)5 302
a d
a d
，解得
1
26
3
4
3
a
d
，
所以 8 1
8 (8 1) 26 48 8 28 ( ) 322 3 3S a d ．故选 B．
8．【答案】B
【解析】由题意可得
2 2
2 2
(2 cos ) ( sin ) cos sin( ) x x x x x x x x xf x x x
，故选 B．
9．【答案】A
【解析】由题意得，联立直线与抛物线 2 1
16
y kx
y x
，得 2 1 016x kx ，
由 0Δ ，得 1
2k ，即 1
2
b
a
，所以
2 2 5
2
a be a
，故选 A．
10．【答案】D
【解析】由题可得 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x ，
所以当 1 2x 时， ( ) 0f x ；当 2 4x 时， ( ) 0f x ，
即函数 ( )f x 在[ 1,2] 上单调递减，在[2,4]上单调递增，所以 (2) 8m f ，
又 ( 1) 19f ， (4) 24f ，所以 24M ，所以 32M m ，故选 D．
11．【答案】C
【解析】由题意得点 ( 1,0)F ，设点 0 0( , )P x y ，
则有
2 2
0 0 14 3
x y ，可得
2
2 0
0 03(1 )( 2 2)4
xy x ．
因为 0 0( 1, )FP x y ， 0 0( , )OP x y ，
所以
2 2
2 0 0
0 0 0 0 0 0( 1) ( 1) 3(1 ) 34 4
x xOP FP x x y x x x ．
此二次函数的图象的对称轴为直线 0 2x ，
又 02 2x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取最大值，最大值为
22 2 3 64
．
故选 C．
12．【答案】B
【解析】令 ( ) ( )f t g s a ，即 ln 0te s a ，则 lnt a ， as e ，
所以 ln ( 0)as t e a a ．
令 ( ) lnah a e a ，则 1( ) ah a e a
，显然函数 1( ) ah a e a
在(0, ) 上单调递增，
所以存在唯一的实数 0a a 使得 ( ) 0h a ，
则当 00 a a 时， ( ) 0h a ；当 0a a 时， ( ) 0h a ，所以 min 0( ) ( )h a h a ，
所以当 s t 取最小值时， 0( )f t a ，
易得当 0
1
2a 时， 0
0
1 0ae a
，当 0 ln 2a 时， 0
0
1 0ae a
，所以 0
1( ,ln 2)2a ，
故 ( )f t 所在区间是 1( ,ln 2)2
，故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 1
8
【解析】将 2y ax 化为 2 1x ya
，由于准线方程为 2y ，
所以抛物线开口向下， 1 0a
且 1 24a
，所以 1
8a ．
14．【答案】 12 2n
【解析】由题意知 3 5
2 4
40 220
a aq a a
，
∵ 2 2
2 4 2 1(1 ) (1 ) 20a a a q a q q ，∴ 1 2a ，
∴ 12(1 2 ) 2 21 2
n
n
nS
．
15．【答案】6
【解析】画出可行域，令 z x y ，易知 z 在 (4,2)A 处取得最大值6 ．
16．【答案】[1,+ )
【解析】因为对任意两个不相等的正实数 1x ， 2x ， 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x
x x
恒成立，
所以 ( ) 2f x 恒成立，
因为 ( ) 2af x x ax
，所以 2 2a ，即 1a ，
故实数a 的取值范围是[1,+ ) ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．【答案】[1,2]．
【解析】 p 真时， 2m ；
q 真时， 24 4 4 3 0x mx m 在R 上恒成立，
∴ 216 16(4 3) 0Δ m m ，解得1 3m ，
∵( )p q 为真，∴ p 假，q 真，∴ 2
1 3
m
m
，即1 2m ．
∴所求m 的取值范围为[1,2]．
18．【答案】（1） π
3C ；（2） 2 3ABCS △ ．
【解析】（1）∵ π π 3sin( ) cos( )3 6 2C C ，
∴ 3 1 3 1 3cos sin cos sin2 2 2 2 2C C C C ，∴ 1cos 2C ，
∵在 ABC△ 中，0 πC ，∴ π
3C ．
（2）∵sin 2sinA B ，∴ 2a b ，
又 2 2 2 2 cosc a b ab C ，∴ 2 2 2 2 21(2 3) 4 2 2 32b b b b ，
∴ 2b ， 4a ，∴ 1 sin 2 32ABCS ab C △ ．
19．【答案】（1） 2 1na n ；（2）
14 (3 1) 4
9
n
n
nT
．
【解析】（1）设数列{ }na 的公差为 d ，
令 1n ，得
1 2
1 1
3a a
，所以 1 2 3a a ，
令 2n ，得
1 2 2 3
1 1 2
5a a a a
，所以 2 3 15a a ．
所以 2 2
2 2
( ) 3
( ) 15
a d a
a a d
，即
2
2 2
2
2 2
3
15
a a d
a a d
，解得 2 3
2
a
d
或 2 3
2
a
d
，
又因为 1 0a ，所以 1 1a ， 2d ，所以 2 1na n ．
（2）由（1）知 2 1( 1) 2 2 2 4na n n
n nb a n n ，
所以 1 21 4 2 4 4n
nT n ，
所以 2 3 14 1 4 2 4 4n
nT n ，
两式相减，得 1 2 1 1 14 (1 4 ) 1 3 43 4 4 4 4 4 41 4 3 3
n
n n n n
n
nT n n ，
所以
1
13 1 4 4 (3 1) 449 9 9
n
n
n
n nT
．
20．【答案】（1）m 不存在，见解析；（2） 1+ 7 1 3( , )2 2
．
【解析】（1）不等式 2 2 1 0mx x m 恒成立，
即函数 2( ) 2 1f x mx x m 的图象全部在 x 轴下方．
当 0m 时， ( ) 1 2f x x ，不满足 ( ) 0f x 恒成立；
当 0m 时， 2( ) 2 1f x mx x m ，要使 ( ) 0f x 恒成立，
需 0
4 4 (1 ) 0
m
Δ m m
，则m 无解．
综上可知，不存在这样的m ．
（2）设 2 2( ) 2 1 ( 1) 1 2f m mx x m x m x ，
则 ( )f m 为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．
由题意知当 2 2m 时， ( )f m 的图象为在m 轴下方的线段，
∴ ( 2) 0
(2) 0
f
f
，即
2
2
2 2 3 0
2 2 1 0
x x
x x
，解得
1 7 1+ 7
2 2
1 3 1 3
2 2
x x
x
或
，
∴ 1+ 7 1 3
2 2x ，
∴ x的取值范围为 1+ 7 1 3( , )2 2
．
21．【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2） 6
12k ．
【解析】（1）由题意得 2 2 2
2 2
2
1 9 14
a
a b c
a b
，解得
2
3
1
a
b
c
，
所以椭圆 E 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）设直线 AB 的方程 ABl 为 ( 2)y k x ，
由 2 2
( 2)
14 3
y k x
x y
，得 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k ，
所以
2
2
16 122 3 4A B B
kx x x k
，
所以
2
2
8 6
3 4B
kx k
，所以 2
12( 2) 3 4B B
ky k x k
，
所以
2
2 2
8 6 12( , )3 4 3 4
k kB k k
．
若 1
2k ，则 3(1, )2B ，所以 3(1, )2C ，
又 1( 1,0)F ，所以 1
3
4CFk ，所以 1FC 与 AB 不垂直，所以 1
2k ．
因为 2 (1,0)F ， 2 2
4
1 4BF
kk k
， 1
1 1
CF
AB
k k k
，
所以直线 2BF 的方程 2BFl 为 2
4 ( 1)1 4
ky xk
，
直线 1CF 的方程 1CFl 为 1 ( 1)y xk
，
由
2
4 ( 1)1 4
1 ( 1)
ky xk
y xk
，解得
28 1
8
x k
y k
，所以 2(8 1, 8 )C k k ．
又点C 在椭圆上，则
2 2 2(8 1) ( 8 ) 14 3
k k ，
即 2 2(24 1)(8 9) 0k k ，解得 2 1
24k ．
因为 0k ，所以 6
12k ．
22．【答案】（1）
2
max
1( ) 2 4
ef x ， min
5( ) 4f x ；（2）见解析．
【解析】（1）当 1
2a 时，
21( ) ln 12 4
xf x x ，所以
21 1( ) 2 2 2
x xf x x x
，
因为 ( )f x 的定义域为(0, ) ，所以由 ( ) 0f x ，可得 1x ．
因为 5(1) 4f ， 2
1 3 1( ) 2 4f e e
，
21( ) 2 4
ef e ，
所以在 1[ , ]ee
上，
2
max
1( ) ( ) 2 4
ef x f e ， min
5( ) (1) 4f x f ．
（2）由题可得
2( 1)( ) a x af x x
， (0, )x ，
①当 1 0a ，即 1a 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在(0, ) 上单调递减；
②当 0a 时， ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在(0, ) 上单调递增；
③当 1 0a 时，由 ( ) 0f x 可得 2
1
ax a
，即
1
ax a
，
由 ( ) 0f x 可得 2
1
ax a
，即0 1
ax a
，
所以 ( )f x 在(0, )1
a
a
上单调递减，在( , )1
a
a
上单调递增．
综上：当 0a 时， ( )f x 在(0, ) 上单调递增；
当 1 0a 时， ( )f x 在(0, )1
a
a
上单调递减，在( , )1
a
a
上单调递增；
当 1a 时， ( )f x 在(0, ) 上单调递减．