- 929.00 KB
- 2021-04-29 发布
定远县西片三校2017-2018学年上学期期末考试
高二（文科）数学
2018.2
考生注意：
1、本卷满分150分，考试时间120分钟；
2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；
3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。
一、选择题
1.已知表示空间一条直线，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.一个体积为的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（ ）
A.12 B. C.8 D.
3.已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
A.B.C.D.
4.正四棱锥所有棱长均为2，则侧棱和底面所成的角是 （ ）
A.30° B.45° C.60 ° D.90°
5.已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（ ）
A.∠CEB＞∠DEB
B.∠CEB=∠DEB
C.∠CEB＜∠DEB
D.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
6.若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图, 正三棱柱的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形, 则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为( )
A. B. C. D.16
9.如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（ ）
A.B. C.D.
10.已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. B.4π C.2π D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
12.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
第II卷（非选择题）
二、填空题
13.如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1 ， B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP= ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
15.要做一个无盖型容器，将长为15cm，宽为8cm的长方形铁皮先在四角分别截去一个相同的小正方形后再进行焊接，当该容器容积最大时高为 cm．
16.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下四个判断中，正确的序号是_________．
①与平行；②与是异面直线；③与成60°角；④与是异面直线．
三、解答题
17.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．
18.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAD；（2）若PA=1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ．
（Ⅰ
）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
20.如图，平面为圆锥的轴截面， 为底面圆的圆心， 为母线的中点， 为底面圆周上的一点，
求该圆锥的侧面积；
若直线与所成的角为，求的长.
21.如图，三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且， ，点在线段上，且平面.
（1）证明： ；
（2）证明： 平面；
（3）若四棱锥的体积为7，求线段的长.
22.如下图，在几何体中， ，且是正三角形，四边形为正方形， 是线段的中点， ，
（Ⅰ）若是线段上的中点，求证:
（Ⅱ）若是线段上的动点，求三棱锥的体积
参考答案
1.B
【解析】命题①：若 ， 则是正确的命题，如图（1）过直线作一个平面 ， ， 则由 ， 结合线面平行的性质可知 ， 因为 ， 所以 ， 而 ， 所以由面面垂直的判定可得；命题②：若 ， 则是错误的命题，如图（2），直线可能在平面内；命题③：若 ， 则是错误的命题，如图（3），直线可能在内，如图（4），直线也可能与平行，综上可知，三个命题中只有一个命题是正确的，故选B.
2.D
【解析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是 2 ， 由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是 2 ， 由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是×2× 4="4" 由于其体积为 12 ， 故有h×4=12 ， 得h=3，由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×2=6 ，
故选D
3.B
【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2
故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，
故选B．
4.B
【解析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．
如图，
四棱锥P-ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO，
则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，
∵AO= ， PA=2，
∴cos∠PAO== ． ∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．
故选 B．
5.A
【解析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，
所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB
在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF
易知tan∠CEF=tan∠DEB=
由CF＞DF知，∠CEB＞∠
DEB
故选A．
6.D
【解析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．
由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，
故选D．
7.A
【解析】由三视图可知直观图上半部分为半球，半径为2，下半部分为长方体，三边为2,2,3所以表面积为,选A。
8.A
【解析】由主视图可知正三棱柱底面边长为4，侧棱长为4，所以左视图为矩形，两边分别为4和,其面积为
9.A
【解析】对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；
对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；
对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；
对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意
故选：A
10.D
【解析】：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ， ∴正四棱柱体对角线的长为 =2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴
正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V= πR3= π．
故选：D．
11.C
【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，
其体积为
故选：C
12.C
【解析】.如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝．
∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，
∴∠CMA＝90°，故选C．
13. a
【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ， MN⊂平面ABCD
∴MN∥平面A1B1C1D1 ， 又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1 ，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP= ，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ= ，从而DP=DQ= ，
∴PQ= = = a．
故答案为： a
14.
【解析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF， ED1 ，
∴CC1∥EF，
又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，
∴CC1∥平面D1EF．
∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．
过点C1作C1M⊥D1F，
∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1 ．
∴C1M⊥平面D1EF．
过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．
取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．
可得NP⊥平面D1EF，
在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得 = ．
∴点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
故答案为
15.
【解析】设容器的高为x，（0＜x＜4）， 则当该容器容积V=（15﹣2x）（8﹣2x）x=4x3﹣46x2+120x，
V′=12x2﹣92x+120，
由V′=0，得x= 或x=6（舍），
∵x∈（0， ）时，V′＞0；x∈（ ，4）时，V′＜0．
∴当x= cm时，该容器容积最大．
故答案为： ．
16.③④
【解析】
展开图还原的正方体如图，不难看出，①与平行；错误的，应为异面直线；②与是异面直线，错误；应是平行线；③与成，是正确的；④与是异面直线，是正确的，故选③④．
17.证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1 ．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1 ， ∴AB⊥平面BB1C1C，
又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意， CB=CB1 ， 设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1 ．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O﹣xyz．
其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．
不妨设AB=2，则A（2，﹣1，0），B（0，﹣1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．
=（﹣2，0，0），=（﹣2，1，），=(0,2,0)．
设=（x1 ， y1 ， z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0，
即取z1=﹣1，得=（0，，﹣1）．
设=（x2 ， y2 ， z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0，
即取x2=，得=（，0，2）．
所以cos〈n1 ， n2＞==﹣．
因此二面角B﹣AC﹣A1的余弦值为﹣．
18.（1）证明：（1）∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PB⊂⊙O所在的平面PAB，
∴AD⊥PB，
∵PA⊥PB，PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD，
∵PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAD；
（2）解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，
∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，
∴AD⊥PE，
∵AD∩AB=A，
∴PE⊥平面ABCD，
直角△PAB中，AB=2，PA=1，
∴PB=，
∴PE==，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V=．
19.（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面=(BC+AD)xAB=
∴四棱锥S﹣ABCD的体积是V=xSAxM底面=x1x=；
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，
则SE是所求二面角的棱
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA，
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，
EB是交线．又BC⊥EB，
∴BC⊥面SEB，
故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角
∵SB==,BC=1,BCSB
∴tan∠BSC=
即所求二面角的正切值为．
20.（1） （2）
（1）由题意知， 平面，
在中，
该圆锥的侧面积；
取的中点，连接 为母线的中点， 为的中位线，
平面平面
平面
直线与所成的角为，
在中，
21.（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）证明过程见解析；（Ⅲ） 或.
（Ⅰ）证明： //平面. 平面，平面平面，
所以根据线面平行的性质可知// ，
（Ⅱ）由可知为等腰中边的中点，故，
又平面平面，平面平面 , 平面 ， ，
平面， 平面,
又， // 所以平面.
（Ⅲ）设，在直角三角形中， ，
，即，
// 知相似于，所以，
由得，
从而四边形的面积为，
由（Ⅱ）可知是四棱锥的高， ，
所以，
所以，所以或，
所以或.
22.（1）详见解析；（2）.
（Ⅰ）解法一：取的中点，连接，
是线段的中点，
且，
四边形为正方形， 是线段上的中点
且，
∴且，
四边形是平行四边形，
，
，
。
解法二：取的中点，连接，
是线段的中点，
四边形为正方形，
，
，
，
。
又是线段上的中点，
，
，
。
，
，
，
（Ⅱ）四边形为正方形，
，
，
，
=