2014年高考真题——数学（江苏卷） 解析版 11页

绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 圆柱的侧面积公式： clS 圆柱侧 ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式： ShV 圆柱 , 其中 S 是圆柱的底面积, h 为高. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合 A={ 4,3,1,2  }， }3,2,1{B ，则 BA  ▲ . 2. 已知复数 2)i25( z (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 开始 0n 1 nn 202 n 输出 n 结束 （第 3 题） N Y 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。 本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 5. 已知函数 xy cos 与 )2sin(  xy (0≤   ),它们的图象有一个横坐标为 3  的交点,则  的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分 布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 【考点】频率分布直方图． 组距 频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第 6 题） 7. 在各项均为正数的等比数列 }{ na 中, ,12 a 468 2aaa  ,则 6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 1S ， 2S ，体积分别为 1V ， 2V ，若它们的侧面积相等，且 4 9 2 1 S S ，则 2 1 V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032  yx 被圆 4)1()2( 22  yx 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数 ,1)( 2  mxxxf 若对于任意 ]1,[  mmx ,都有 0)( xf 成立,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 x baxy  2 (a，b 为常数)过点 )5,2( P ，且该曲线在点 P 处的切线 与直线 0327  yx 平行，则 ba  的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 8AB ， 5AD ， PDCP 3 ， 2 BPAP ，则 ADAB 的值是 ▲ . 13. 已知 )(xf 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 )3,0[x 时, |2 12|)( 2  xxxf .若函数 axfy  )( 在区 间 ]4,3[ 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ . A B D C P （第 12 题） 14. 若△ ABC的内角满足 CBA sin2sin2sin  ,则 Ccos 的最小值是 ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 15.(本小题满分 14 分) 已知 ),2(   , 5 5sin  . (1)求 )4sin(   的值； (2)求 )26 5cos(   的值. 16.(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 ABCP  中， D ，E，F 分别为棱 ABACPC ,, 的中点.已知 ACPA , ,6PA .5,8  DFBC 求证: (1)直线 //PA 平面 DEF ； (2)平面 BDE 平面 ABC. （第16题） P D CE F B A 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 21, FF 分别是椭圆 )0(12 3 2 2  ba b y a x 的左、右焦点，顶点 B 的坐标 为 ),0( b ，连结 2BF 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 CF1 . (1)若点 C 的坐标为 )3 1,3 4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程； (2)若 ,1 ABCF  求椭圆离心率 e 的值. F1 F2 O x y B C A (第 17 题) 18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的 距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为 河岸), 3 4tan BCO . (1)求新桥 BC 的长； (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最 大？ 170 m 60 m 东 北 O A B M C （第 18 题） 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 xxxf  ee)( ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: )(xf 是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1e  mx 在 ),0(  上恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0 3 00 xxaxf  成立.试比较 1e a 与 1ea 的大小，并证 明你的结论. 20.(本小题满分 16 分) 设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS .若对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 mn aS  ，则称 是“H 数 列”. (1)若数列 的前 n 项和 n nS 2 ( n N  ),证明: 是“H 数列”; (2)设 是等差数列,其首项 11 a ,公差 0d .若 是“H 数列”,求 d 的值； (3)证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H 数列” }{ nb 和 }{ nc ，使得 nnn cba  ( N )成立. 【解析】（1）首先 112aS，当 2n  时， 11 1 2 2 2n n n n n na S S       ，所以 1 2, 1, 2 , 2,n n na n    ， 所