2018届二轮复习（文）专题三三角3 18页

3 . 3 . 2 　 三角变换与解三角形 - 2 - 正弦、余弦定理与三角形面积的综合问题 例 1 在 △ ABC 中 , ∠ A= 60°, c= a . (1) 求 sin C 的值 ; (2) 若 a= 7, 求 △ ABC 的面积 . - 3 - 解题心得 正弦定理和余弦定理是解三角形时用到的两个重要定理 , 其作用主要是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系 , 使问题得以解决 . - 4 - 对点训练 1 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 且满足 2 a cos B= 2 c-b. (1) 求角 A ; 解 (1) 由 2 a cos B= 2 c-b 及正弦定理 , 得 2sin A cos B= 2sin C- sin B. 而 sin C= sin( A+B ) = sin A cos B+ cos A sin B , ∴ 2cos A sin B= sin B. - 5 - (2) △ ABC 是等边三角形 . 理由如下 : - 6 - 例 2 已知在 △ ABC 中 , D 是 BC 上的点 , AD 平分 ∠ BAC , △ ABD 的面积是 △ ADC 面积的 2 倍 . - 7 - (2) 因为 S △ ABD ∶ S △ ADC =BD ∶ DC , 所以 BD = . 在 △ ABD 和 △ ADC 中 , 由余弦定理知 AB 2 =AD 2 +BD 2 - 2 AD·BD cos ∠ ADB , 　 ① AC 2 =AD 2 +DC 2 - 2 AD·DC cos ∠ ADC. 　 ② 因为 cos ∠ ADB=- cos ∠ ADC , 所以 ① + 2 × ② 得 AB 2 + 2 AC 2 = 3 AD 2 +BD 2 + 2 DC 2 = 6 . 由 (1) 知 AB= 2 AC , 所以 AC= 1 . 解题心得 对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题 , 分别在两个三角形中列出方程 , 组成方程组 , 通过加减消元或者代入消元 , 求出所需要的量 ; 对于含有三角形中的多个量的已知等式 , 化简求不出结果 , 需要依据题意应用正弦、余弦定理再列出一个等式 , 由此组成方程组通过消元法求解 . - 8 - 对点训练 2 (2017 江苏无锡一模 ,15) 在 △ ABC 中 , a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边 . 若 a cos B= 3, b cos A= 1, 且 A-B = , (1) 求边 c 的长 ; (2) 求角 B 的大小 . 解由 ① , ② 组成的方程组得 2 c 2 = 8 c , 即 c= 4 . - 9 - - 10 - 正弦、余弦定理与三角变换的 综合 例 3 (2017 天津 , 文 15) 在 △ ABC 中 , 内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 a sin A= 4 b sin B , ac = ( a 2 -b 2 -c 2 ) . (1) 求 cos A 的值 ; (2) 求 sin(2 B-A ) 的值 . - 11 - - 12 - 解题心得 三角形有三条边三个角共六个元素 , 知道其中三个 ( 其中至少知道一条边 ) 可求另外三个 ; 若题目要求的量是含三角形内角及常数的某种三角函数值 , 在解题时往往先通过正、余弦求出内角的三角函数值再应用和角公式及倍角公式通过三角变换求得结果 . - 13 - 对点训练 3 (2017 河北衡水中学二模 , 文 17) 在 △ ABC 中 , 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 4cos 2 - 4sin B sin C= 3 . (1) 求 A ; (2) 若 ( bc- 4 )cos A+ac cos B=a 2 -b 2 , 求 △ ABC 的面积 . - 14 - - 15 - 正弦、余弦定理与三角变换及三角形面积的 综合 例 4 (2017 山西孝义考前热身 , 文 17) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 且满足 2 ac sin B=a 2 +b 2 -c 2 . (1) 求角 C 的大小 ; (2) 若 b sin( π -A ) =a cos B , 且 b = , 求 △ ABC 的面积 . - 16 - (2) ∵ b sin( π -A ) =a cos B , ∴ sin B sin A= sin A cos B , 解题心得 在解三角形中 , 若已知条件是由三角形的边及角的正弦、余弦函数构成的 , 解题方法通常是通过正弦定理、余弦定理把边转化成角的正弦 , 使已知条件变成了纯粹的角的正弦、余弦函数关系 , 这样既实现了消元的目的 , 又可利用三角变换化简已知条件 . - 17 - 对点训练 4 (2017 辽宁沈阳三模 , 文 17) 如图 , 已知 △ ABC 中 , D 为 (1) 求 AD 的长 ; (2) 若 △ ABD 的面积为 14, 求 AB 的长 . - 18 -