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- 2021-04-28 发布
高二第二学期第一次半月考数学试卷
考试范围：计数原理、排列组合、二项式定理、古典概型、离散型随机变量及其分布列；
一、单选题（每题5分，共50分）
1．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )
A． B． C． D．
2．如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射击方法数是（ ）
A．78 B．60 C．48 D．36
3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．20个
5．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（ ）
A．160 B．－160 C．320 D．－320
7．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．108
10．展开并合并同类项后的项数是（ ）
A．11 B．66 C．76 D．134
二、多选题（每题5分，共10分）
11．如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )
A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1
C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数
12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.
A． B． C． D．18
三、填空题（每题5分，共20分）
13．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．
14．的展开式中，含项的系数为______.
15．在一次比赛中，某队的六名队员均获得奖牌，共获得4枚金牌2枚银牌，在颁奖晚会上，这六名队员与1名领队排成一排合影，若两名银牌获得者需站在领队的同侧，则不同的排法共有______种．（用数字作答）
16．设n为正整数，展开式的二项式系数最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若，则n=__________.
四、解答题
17．（满分10分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.
18．（满分10分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
高二半月考数学答案
单选1——10 DBBAD DDCCB
多选11、ABD 12、BC
填空题13——16 36、30、3360、6
17、【分析】
（1）根据题意先求出该顾客没有中奖的概率，再根据与对立事件的概率和为1，即可得到该顾客中奖的概率.（2）根据题意得的取值可能为0，10，20，50，60，100，根据古典概率公式分别求出其概率，进而求出X的概率分布列.
【详解】
（1）该顾客获奖的概率为.
（2）根据题意得，的取值可能为0，10，20，50，60，100
,,,
,,.
的分布列为
0
10
20
50
60
100
18、【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】
（1）由已知有，
所以事件的发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；
；；
；
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
高二第二学期第一次半月考解析
一、单选题
1．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )
A． B． C． D．
【来源】福建省三明市第二中学2016-2017学年高二第二学期阶段（1)考试数学（理)试题
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
由题意，由所有概率的和为可得，
，故选.
2．如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射击方法数是（ ）
A．78 B．60 C．48 D．36
【来源】北京市第十二中学2019-2020学年高二下学期5月月考理科数学试题
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之间被击中，先不考虑限制条件，计算将6个小球按被击中的顺序排成一排的情况，进而计算ABC、DE之间的顺序，据此分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，如图：假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之前被击中，
若不考虑限制条件，将6个小球按被击中的顺序排成一排，有A66＝720种情况，
ABC之间的顺序有A33种，DE之间的顺序有A22种，
其中C在B之前，B在A之前，且E在D之间，则把这6个球全部击中射击方法数是60种；
故选：B．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，解题的关键在于将原问题转化为有固定顺序的排列问题．
3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【来源】2020届湘赣皖长郡十五校高三联考第二次考试数学（理)试题
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以确定所有可能事件的数量为，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果.
【详解】
从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，
满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题.
4．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）
A．17个 B．18个
C．19个 D．20个
【来源】湖北省松滋市第一中学人教版高中数学选修2-3练案：2.1.1 离散型随机变量
【答案】A
【解析】
2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.
5．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】2020届山东省枣庄市高三模拟考试（二调)数学试题
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法写出所有基本事件即可得概率．
【详解】
不超过16的素数有2,3，5,7，11,13共6个，任取2个的基本事件有：
，共15个，其中可组成孪生素数的有共3个，∴所求概率为．
故选：D．
【点睛】
本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件．
6．已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（ ）
A．160 B．－160 C．320 D．－320
【来源】齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟考试理科数学试题
【答案】D
【解析】
二项式展开式的常数项是由个和个相乘得到的，所以常数项为
所以，由等差数列的性质可得，故选D.
7．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【来源】2020届河北省邯郸市高三第二次模拟数学（理)试题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻
分2步进行分析：
①领导和队长站在两端，有种情况，
②中间人分种情况讨论：
若相邻且与相邻，有种安排方法，
若相邻且不与相邻，有种安排方法，
则中间人有种安排方法，
则有种不同的安排方法；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】2020届浙江省温州市高三下学期4月二模数学试题
【答案】C
【解析】
【分，根据对称性得到答案.
【详解】
展开式的通项为：，故，
，
根据对称性知：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.析】
计算
9．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．108
【来源】山东省菏泽市东明县第一中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.
【详解】
当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种
当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种
即不同的染色方法总数为种
故选：C
【点睛】
本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.
10．展开并合同类项后的项数是（ ）
A．11 B．66 C．76 D．134
【来源】2016届河南省洛阳市高三考前综合练习五理科数学试卷（带解析)
【答案】B
【解析】
试题分析：展开后有11项，再将展开后有，故共有项，选B.
考点：二项展开式定理
二、多选题
11．如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )
A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1
C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数
【来源】江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据随机变量及其分布列性质即可判断.
【详解】
根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；
取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；
的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.
故选：ABD
【点睛】
此题考查随机变量概念辨析，需要数量掌握随机变量及其分布列的性质，根据性质辨析得解.
12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.
A． B． C． D．18
【来源】2020届山东省日照第一中学高三上学期期中数学试题
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：
（1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，
有2种解法：
（1）分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
（2）分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
故选：BC．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
三、填空题
13．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．
【来源】【全国市级联考word】河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考数学理试题
【答案】36
【解析】
先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．
14．的展开式中，含项的系数为______.
【来源】江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试（三)数学（理科)试题
【答案】
【解析】
【分析】
写出此展开式的通项，由确定r，再根据展开式中含的项及y的次数求得含项的系数.
【详解】
展开式的通项为，
令，则展开式中含的项为，
所以含项的系数为.
【点睛】
本题考查求二项展开式中特定项的系数，属于中档题.
15．在一次比赛中，某队的六名队员均获得奖牌，共获得4枚金牌2枚银牌，在颁奖晚会上，这六名队员与1名领队排成一排合影，若两名银牌获得者需站在领队的同侧，则不同的排法共有______种．（用数字作答）
【来源】2020年浙江省新高考名校联考信息卷（六)
【答案】3360
【解析】
【分析】
采用插空法，先将两名银牌获得者及领队排好顺序后，再将四名金牌获得者依次进行插空处理，进而求出结果.
【详解】
将四名金牌获得者分别记为，两名银牌获得者分别记为甲、乙，
考虑两名银牌获得者甲、乙及领队的顺序，有种情况，
三人排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个安排，有4种情况，
四人排好后，有5个空位，在5个空位中任选个安排，有5种情况，
五人排好后，有6个空位，在6个空位中任选1个安排，有6种情况，
六人排好后，有7个空位，在7个空位中任选1个安排，有7种情况，
则除甲、乙及领队外，剩余四人的排法有（种），
故不同的排法共有（种）.
故答案为：3360.
【点睛】
本题主要考查排列数的应用以及排列数的计算问题，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：
（1）特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；
（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；
（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；
（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；
（6）去序法或倍缩法；
（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；
（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.
16．设n为正整数，展开式的二项式系数最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若，则n=__________.
【来源】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
【答案】6
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质求出x和y，代入，计算即可.
【详解】
解：由题意知，，
，，即
，
故答案为：6
【点睛】
考查二项式系数的性质及组合数的运算，基础题.
四、解答题
17．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.
【来源】山东省淄博市英才中学2019-2020学年度高二下学期期中考试数学试题
【答案】（1）；（2）的分布列为
0
10
20
50
60
100
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出该顾客没有中奖的概率，再根据与对立事件的概率和为1，即可得到该顾客中奖的概率.（2）根据题意得的取值可能为0，10，20，50，60，100，根据古典概率公式分别求出其概率，进而求出X的概率分布列.
【详解】
（1）该顾客获奖的概率为.
（2）根据题意得，的取值可能为0，10，20，50，60，100
,,,
,,.
的分布列为
0
10
20
50
60
100
【点睛】
本题主要考查古典概型事件的概率求解.
古典概型的特点：
①有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）；②等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）.
基本事件的特点：
①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
18．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列
【来源】江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
【答案】（1） ； （2）.
【解析】
【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】
（1）由已知有，
所以事件的发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；
；；
；
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．