陕西省延安市黄陵中学高新部2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 13页

黄陵中学高新部2019~2020学年第一学期 高一期末数学试题 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共6分）‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先解出集合A,进而得到结果．‎ ‎【详解】解：由集合A得,‎ 所以 故答案选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．‎ ‎2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　 　)‎ A. 圆柱 B. 圆 C. 球体 D. 圆柱、圆锥、球体的组合体 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由各个截面都是圆知是球体．‎ ‎【详解】解：各个截面都是圆，‎ 这个几何体一定是球体，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了球的结构特征，属于基础题．‎ ‎3. 下图中直观图所表示的平面图形是（　　）‎ A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为在直观图中三角形的边平行轴，平行轴；所以在平面图形中三角形的边则平面图形是直角三角形．故选D ‎4.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中正视图与侧视图和俯视图，我们可以判断出该几何体的形状，逐一和四个答案中的直观图进行比照，即可得到答案．‎ ‎【详解】解：由已知中的三视图我们可以判断出 该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成 分析四个答案可得满足条件要求 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，其中若三视图中若有两个三角形，则几何体为一个锥体，有两个矩形，则几何体为一个柱体，具体形状由另外一个视图的形状决定．‎ ‎5.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）‎ A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，‎ 当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直．‎ 当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直．‎ 故选D．‎ ‎6.如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．‎ ‎【详解】如图所示，取BC中点G，连接FG，EG．‎ ‎，F分别是CD，AB的中点，‎ ‎，，‎ 且，．‎ 为EF与AC所成的角．‎ 又，．‎ 又，，，‎ 为等腰直角三角形，‎ ‎，即EF与AC所成的角为45°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．‎ ‎7.直线的倾斜角为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设直线的倾斜角为α,由题意直线的斜率为,即tanα=,‎ 所以α=‎ 故选D.‎ ‎8.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　 　)‎ A. 12 B. ‎9 ‎C. －12 D. 9或12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出三点的斜率利用斜率相等求出的值即可．‎ ‎【详解】解：三点，，在同一直线上，‎ 所以，即，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率，三点共线知识个应用，考查计算能力．‎ ‎9.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意知，．故选C．‎ ‎【考点】空间点、线、面的位置关系．‎ ‎【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　 　)‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在中，，为所在平面外一点，平面，能推导出平面．由此能求出四面体中有多少个直角三角形．‎ ‎【详解】解：在中，，‎ 为所在平面外一点，平面，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 平面．‎ 四面体中直角三角形有，，，．4个．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．‎ ‎11.若点P在直线上，且P到直线的距离为，则点P的坐标为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，解方程得或，所以P点坐标为或 考点：点到直线的距离 ‎12.若圆C经过两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，选D.‎ 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置 ‎13.若函数f(x)＝则f(f(－1))＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，先求出再求.‎ ‎【详解】解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.‎ ‎14.长方体长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球的表面积为.‎ ‎15.若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．‎ ‎【答案】1或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题主要根据平面公理2以及推论，以及直线的位置关系，还有举出符合条件的空间几何体进行判断．‎ ‎【详解】解：由题意知由两种情况：‎ 当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；‎ 当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，则四个点确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点；‎ 故答案为：1或4．‎ ‎【点睛】本题的考点是平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，可以借助于空间几何体有助理解，考查了空间想象能力．‎ ‎16.过点M(－3,5)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为_______________________．‎ ‎【答案】y＝－x或x－y＋8＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要分类讨论：截距为0和截距不为0两种情况来解答．‎ ‎【详解】解：过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，‎ 当截距为0，所求直线斜率为，方程为，即为；‎ 当截距不为0，设所求直线方程为，代入的坐标，可得，‎ 即有直线方程为．综上可得所求直线方程为．‎ 故答案是：或．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的截距式方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.已知函数 (a＞0，b∈R，c∈R)．函数的最小值是，且，，求的值；‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的最小值是，且，建立方程关系，求出的解析式，即可求的值；‎ ‎【详解】解：据题意，，得，‎ ‎，‎ 于是，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查求二次函数的函数解析式，及求函数值的问题，属于基础题.‎ ‎18.设,且.‎ ‎（1）求的值及的定义域；‎ ‎（2）求在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1），定义域为；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,可求得的值,结合对数的性质,可求出的定义域;‎ ‎（2）先求得在区间上的单调性,进而可求得函数的最大值.‎ ‎【详解】（1）,解得.‎ 故,‎ 则,解得,‎ 故的定义域为.‎ ‎（2）函数,定义域为,,‎ 由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.‎ 故在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎（1）B，C，H，G四点共面；‎ ‎（2）平面EFA1∥平面BCHG．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)∵GH是△A1B‎1C1的中位线，∴GH∥B‎1C1.又∵B‎1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A‎1G∥EB且A‎1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.‎ 考点：本题考查了公理3及面面平行判定 点评：线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的．‎ ‎20.如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面．‎ ‎(1)求证：EA⊥EC；‎ ‎(2)设平面ECD与半圆弧另一个交点为F.求证：EF∥AB.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面面垂直的性质，可得平面，再利用线面垂直的判定证明面，即可证得结论；‎ ‎（2）先证明面，再利用线面平行的性质，即可证得结论；‎ ‎【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，，平面 平面 平面，‎ 在以为直径的半圆上，‎ ‎，，面 面 面，；‎ ‎（2）证明：设面面 ‎，面，面，‎ 面，‎ 面，面面 ‎；‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21.已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，分别求满足下列条件的a，b值 ‎（1）l1⊥l2，且直线l1过点（﹣3，﹣1）；‎ ‎（2）l1∥l2，且直线l1在两坐标轴上的截距相等．‎ ‎【答案】（1）a=2，b=2（2）a=2，b=﹣2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由直线垂直和直线l1过定点可得ab的方程组，解方程组可得；（2）由直线平行和直线l1截距相等可得ab的方程组，解方程组可得 试题解析：（1）∵两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0且l1⊥l2，‎ ‎∴a（a﹣1）+（﹣b）×1=0，即a2﹣a﹣b=0，‎ 又∵直线l1过点（﹣3，﹣1），∴﹣‎3a+b+4=0，‎ 联立解得a=2，b=2； ‎ ‎（2）由l1∥l2可得a×1﹣（﹣b）（a﹣1）=0，即a+ab﹣b=0，‎ 在方程ax﹣by+4=0中令x=0可得y=，令y=0可得x=﹣，‎ ‎∴=﹣，即b=﹣a，联立解得a=2，b=﹣2．‎ 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系 ‎22.已知圆和 ‎(1)求证：圆和圆相交；‎ ‎(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题可先通过圆和圆的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比，即可得出结果；‎ ‎(2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程，再通过圆心到公共弦的距离以及半径利用勾股定理得出结果．‎ ‎【详解】(1)圆的圆心，半径，‎ 圆的圆心，半径 两圆圆心距 ‎ 所以，圆和相交；‎ ‎(2)圆和圆的方程相减，得，‎ 所以两圆的公共弦所在直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离为：‎ 故公共弦长为 ‎【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定、两圆的公共弦所在直线的方程的求法以及公共弦长，属中档题．圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的距离和半径的和与差的关系即可．‎