2018-2019学年安徽省阜阳第一中学高二4月月考数学（理）试题 解析版 19页

绝密★启用前 安徽省阜阳第一中学2018-2019学年高二4月月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ）‎ ‎;;的共轭复数为；的虚部为i.‎ A．, B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘除运算化简复数z，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z1+i，‎ ‎∴：|z|，‎ ‎：z2＝2i，‎ ‎：z的共轭复数为1-i，‎ ‎：z的虚部为1，‎ ‎∴真命题为p2，p3．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎2．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求得函数在x=1处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率相乘等-1，解方程可得a．‎ ‎【详解】‎ 解：的导数为，‎ 可得曲线在点（1，ae+1）处的切线斜率为ae+2，‎ 由切线与直线垂直可得 ‎（ae+2）（）=-1，解得a＝．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在点处的切线的斜率的求法，同时考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎3．下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ）‎ A．直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类比推出:向量，若，则.‎ B．同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.‎ C．以点为圆心,为半径的圆的方程为.类比推出:以点为球心,为半径的球面的方程为.‎ D．实数,若方程有实数根,则.类比推出:复数,若方程有实数根,则.‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A，时，不正确； 对于B，空间中，直线，若则 或或相交，故不正确； ‎ 对于D，方程 有实根，但不成立，故D不正确。‎ 故选C．‎ ‎【点睛】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．‎ ‎4．现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（　 　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先给最左边一块涂色，有4种结果，再给左边第二块涂色有3种结果，以此类推第三块也有3种结果，第四块也有3种结果，根据分步计数原理得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先给最左边一块涂色，有4种结果，‎ 再给左边第二块涂色有3种结果，‎ 以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，‎ ‎∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3＝108．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是看清条件中对于涂色的限制，属于中档题．‎ ‎5．，则T的值为 A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义求出的值，再根据微积分基本定理求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 定积分的计算方法有两种：一是根据微积分基本定理计算，此时解题的关键是求出函数的原函数；二是根据定积分的几何意义求解，即当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求出定积分．‎ ‎6．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．‎ 详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．‎ ‎7．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• •曼德尔布罗特( )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是( )‎ A．55个 B．89个 C．144个 D．233个 ‎【答案】C ‎【解析】分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想：，得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明。‎ 详解：‎ 行数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 球数 ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎34‎ ‎55‎ ‎89‎ ‎144‎ ‎，由此猜想：，故选C。‎ 点睛：观察规律，把行数看成数列的项数，个数看作数列的项，尽可能的多推导前面有限项看出规律。‎ ‎8．函数 的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 函数y=的导数为，‎ 令y′=0，得x=，‎ 时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．‎ ‎∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．‎ 且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，‎ ‎9．已知函数下列结论中①②函数的图象是中心对称图形 ③若是的极小值点，则在区间单调递减 ④若是的极值点，则. 正确的个数有( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①∵∴，其图象为开口向上的抛物线，‎ 当时，恒成立，在上单调递增，故；‎ 当时，的值有时为正，有时为负，时增时减，故，①正确；‎ ‎②因为的对称中心是，‎ 如果能写成的形式，那么三次函数的对称中心就是，‎ ‎∴设 得 ‎∴；；，‎ ‎∴，‎ 故函数的图象是中心对称图形，即②正确；‎ ‎③若是的极小值点，只能说明在附近，左侧导数小于，右侧导数大于，不能说明在区间单调递减，故③不正确；‎ ‎④对于若是的极值点，则，④正确．‎ 故选.‎ 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，二次函数的图象和性质，函数图象的对称性.‎ ‎10．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有三个零点等价于与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则，‎ 在上递减，在上递增，‎ ‎，且时，，‎ 有三个零点等价于与的图象有三个交点，‎ 画出的图象，如图，‎ 由图可得，时，与的图象有三个交点，‎ 此时，函数有三个零点，‎ 实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎11．设定义在上的函数的导函数为，且满足， ，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 构造函数，，所以为增函数，由于，故当时，所以选.‎ ‎12．已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 计算导数得到，结合构造新函数得到 要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而 ‎ ，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．‎ ‎【详解】‎ 正方形的面积为e2，‎ 由lnxdx＝（xlnx﹣x）1，‎ 由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2‎ 即S阴影＝2，‎ 故此点取自黑色部分的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．‎ ‎14．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有__________种．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊问题优先考虑原则，可先安排除甲以外的人去北京，因此分两种情况：一人去北京或两人去北京，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 若安排一人去北京，共有种；若安排两人去北京，共有种，总共24种.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合问题，排列组合的常用策略：（1）特殊位置特殊元素优先考虑；（2）相邻问题捆绑策略；（3）不相邻问题插空策略；（4）定序问题倍缩原则；（5）均分问题除法原则；（6）相同元素隔板策略等.属于中档试题.‎ ‎15．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 设正四棱锥的底面边长为，则高为 ‎∴该棱锥的体积为 设，则 ‎∴令，则，即在上为减函数 令，则，即在上为增函数 ‎∴当时，，即棱锥的体积最大，此时 故答案为6‎ 点睛：解函数应用题的一般程序：‎ 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；‎ 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；‎ 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；‎ 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．‎ ‎16．已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，进而求出的最小值 ‎【详解】‎ 因为实数满足，‎ 所以，，，‎ 所以点在曲线上，点在曲线上，‎ 的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，‎ 最小值即为曲线上与直线平行的切线，‎ 因为，求曲线上与直线平行的切线 即，解得 ，所以切点为，‎ 该切点到直线的距离 ‎，就是所求两曲线间的最小距离，‎ 所以的最小值为 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线与直线间距离的最小值，即为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．选择适当的证明方法证明下列问题 ‎（1）设是公比为的等比数列且，证明数列不是等比数列.‎ ‎（2）设为虚数单位，为正整数，，证明：.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要想证明数列不是等比数列.可以使用反证法。先假设数列是等比数列，根据数学推理，得出一个错误结论，从而假设不成立，本题得证。‎ ‎（2）对于关于正整数的有关命题，一般可以使用数学归纳法。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列.‎ ‎①当存在，使得成立时，数列不是等比数列.‎ ‎②当，使得成立时，则，‎ 化为.‎ ‎∵，，，故矛盾.‎ 综上两种情况，假设不成立，故原结论成立.‎ ‎（2）1°当时，左边，右边，‎ 所以命题成立.‎ ‎2°假设当时，命题成立，‎ 即，‎ 则当时，‎ ‎.‎ 所以，当时，命题也成立.‎ 综上所述，（为正整数）成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了反证法、数学归纳法。同时也考查了学生根据不同的结论特征，采用不同方法的应变能力。‎ ‎18．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：‎ ‎（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？‎ ‎（2）首尾不排教师，有多少种排法？‎ ‎（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？‎ ‎（4）两名教师不能相邻的排法有多少种？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分步计数原理求得结果;（2）首尾两个位置排学生有种，其余4个位置可任意其余的4人，有种方法，再根据分步计数原理求得结果;（3）将两个老师看做一个整体，有种排法，再给老师选个位置，最终将学生排进；（4）先排4名学生，有种方法；再把2个教师插入4个学生形成的5个空中，方法有种．根据分步计数原理，求得结果．‎ 详解：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）.‎ 点睛: 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．不相邻问题用插空法，解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手,‎ ‎(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎19．已知函数，‎ ‎（1）当时，求的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求在区间上的极大值与极小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）极大值，极小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，当时，‎ ‎，‎ ‎，的单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，在是增函数，在为减函数，在为增函数，‎ 极大值，极小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，属基础题．‎ ‎20．已知函数在处的切线方程.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题设，运算求解即可；‎ ‎（Ⅱ）令 ，，通过求两次导数分析函数单调性可得存在在唯一的使得，当或者时，单调递增，当时，单调递减，进而有，从而得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），由题设 ‎ ‎（Ⅱ）实际上是证明时，的图象在切线的上方.‎ 令 ，，则，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；在唯一的极小值.‎ 注意到，，而，所以，所以；‎ 又因为在上单调递减，所以存在在唯一的使得；‎ 因此当或者时，，当时，；‎ 所以当或者时，单调递增，当时，单调递减；‎ 由于，所以，当且仅当时等号成立；‎ 所以时，不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2‎ ‎）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若，判断函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把分别代入原函数及导函数解析式，求得f′（1）及f（1），利用直线方程的点斜式求解；（Ⅱ）求出导函数的零点，列关于x，f′（x），f（x）变化情况表，求得函数最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三类分析原函数的零点．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的定义域为.‎ f’(x)=,.‎ ‎（I）若，f’(1)=3，且,‎ 所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.‎ ‎（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，（舍）.‎ x,f(x), f’(x)变化情况如下表：‎ x ‎(0,a)‎ a f’(x)‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎)=a-2alna.‎ ‎①当，即时，无零点.‎ ‎②当，即时，只有一个零点.‎ ‎③当，即时，‎ 因为>0，,且在上单调递减，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 在上，，.‎ 因为，所以，即.‎ 又，且在上单调递增，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 所以当时，有两个零点.‎ 综上：时，无零点；‎ 时，只有一个零点；‎ 时，有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；‎ ‎（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为 ‎∵，，‎ ‎∴当时，；时，‎ ‎∴函数在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）当时， ‎ 由题意，在上恒成立 ‎①若，当时，显然有恒成立；不符题意.‎ ‎②若，记，则,‎ 显然在单调递增，‎ ‎（i）当时，当时，‎ ‎∴时，‎ ‎（ii）当，，‎ ‎∴存在，使.‎ 当时，，时，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增 ‎∴当时，，不符合题意 综上所述，所求的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎